CF1825D1 题解

一、题目描述:

　　给定 $n$ 和 $k$，表示有 $n$ 个点，其中有 $k$ 个点是关键点，这 $k$ 个点随机分布。

　　给出 $n$ 个点的连接方式，保证构成一棵树，求有期望多少个点使得这个点到 $k$ 个关键点的距离之和最小，答案对 $1e9+7$ 取模。

　　数据范围：$1\le n\le 2e5，1\le k\le min(n,3)$。

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 二、解题思路：

　　$k=1:\mathrm{很}\mathrm{明}\mathrm{显}\mathrm{答}\mathrm{案}\mathrm{是}\mathrm{一}，\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{关}\mathrm{键}\mathrm{点}\mathrm{本}\mathrm{身}，\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{输}\mathrm{出}\mathrm{即}\mathrm{可}。$

 

　　$k=2:\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{关}\mathrm{键}\mathrm{点}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{路}\mathrm{径}\mathrm{长}\mathrm{度}$+1$\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{关}\mathrm{键}\mathrm{点}\mathrm{数}\mathrm{量}，\mathrm{统}\mathrm{计}\mathrm{路}\mathrm{径}\mathrm{被}\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{的}\mathrm{次}\mathrm{数}\mathrm{即}\mathrm{可}。$

 

　　$k=3:\mathrm{枚}\mathrm{举}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{点}，\mathrm{假}\mathrm{设}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{枚}\mathrm{举}\mathrm{到}$u$，\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{点}$u$\mathrm{是}\mathrm{答}\mathrm{案}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{案}。$

　　　　$Situation1:\mathrm{点}$ $u$ $\mathrm{是}\mathrm{关}\mathrm{键}\mathrm{点}$

　　　　　　那么这 $3$ 个关键点必然构成一条链，且点 $u$ 在中间，暴力计算即可。

　　　　$Situation2:\mathrm{点}$ $u$ $\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{关}\mathrm{键}\mathrm{点}$

　　　　　　那么 $3$ 个关键点必然不在一条链上，且在 $u$ 的不同子树中（假设 $u$ 是根），需要前缀和统计计算。

 

　　那么此题已经解决，时间复杂度 $O(n)$。

　　其实还有许多细节，但我不想再提了。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 200010
#define lim 200000
#define to edge[i].v
#define ll long long
#define M 1000000007
using namespace std;
ll n,k,u1,v1,ans;
ll s[N],jc[N],inv[N],sum[N];
struct EDGE{
    ll v,nxt;
}edge[N*2];
ll head[N],cnt;
void add(ll u,ll v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
ll ksm(ll base,ll p)
{
    ll res=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)    res*=base,res%=M;
        base*=base,base%=M,p>>=1;
    }
    return res;
}
void pre_work()
{
    jc[0]=1;
    for(ll i=1;i<=lim;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%M;
    inv[lim]=ksm(jc[lim],M-2);
    for(ll i=lim;i>=1;i--)
        inv[i-1]=inv[i]*i%M;
}
void update(ll u,ll val)
{
    ans+=val*(n-1)*(n-1-val)%M;
    ans-=ksm(val,2)*(n-1-val)%M;
    ans-=val*(sum[u]-ksm(val,2))%M;
    ans=(ans%M+M)%M;
}
void dfs1(ll u,ll ff)
{
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(to!=ff)
        {
            dfs1(to,u),    s[u]+=s[to];
            (sum[u]+=ksm(s[to],2))%=M;
        }
    s[u]++,sum[u]+=ksm(n-s[u],2)%M;
}
void dfs2(ll u,ll ff)
{
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(to!=ff)
            (ans+=s[to]*(n-s[to])*2)%=M,dfs2(to,u);
}
void dfs3(ll u,ll ff)
{
    update(u,n-s[u]),(ans+=3*(n-s[u])*(s[u]-1))%=M;
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(to!=ff)
        {
            update(u,s[to]);dfs3(to,u);
            (ans+=3*s[to]*(n-s[to]-1))%=M; 
        }
}
void baoli()
{
    dfs1(1,0);dfs2(1,0);
    cout<<(ans+n*n-n)%M*ksm((n*n-n)%M,M-2)%M<<'\n';
}
void rwork()
{
    dfs1(1,0);dfs3(1,0);
    cout<<ans*ksm((n*n-n)%M*(n-2)%M,M-2)%M<<'\n';
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    pre_work();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        head[i]=-1;
    for(ll i=1;i<n;i++)
    {
        cin>>u1>>v1;
        add(u1,v1);
        add(v1,u1);
    }
    if(k==1)
    {
        cout<<1<<'\n';
        return 0;
    }
    if(k==2)    baoli();
    if(k==3)    rwork();
    return 0;
}

　　2023.5.19 upt:

#include<iostream>
#define N 200010
#define to edge[i].v
#define ll long long
#define M 1000000007
using namespace std;
ll n,k,u1,v1,ans,s[N];
struct EDGE{
    ll v,nxt;
}edge[N*2];
ll head[N],cnt;
void add(ll u,ll v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
ll ksm(ll base,ll p)
{
    ll res=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)    res*=base,res%=M;
        base*=base,base%=M,p>>=1;
    }
    return res;
}
void dfs(ll u,ll ff)
{
    s[u]=1;
    for(ll i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(to!=ff)
        {
            dfs(to,u),s[u]+=s[to];
            (ans+=s[to]*(n-s[to])*2)%=M;
        }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>k;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        head[i]=-1;
    for(ll i=1;i<n;i++)
    {
        cin>>u1>>v1;
        add(u1,v1);
        add(v1,u1);
    }
    if(k&1)
    {
        cout<<1<<'\n';
        return 0;
    }
    dfs(1,0);ll t=n*n-n;
    cout<<(ans+t)%M*ksm(t%M,M-2)%M<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　这个题是自己想出来的，很不错。可是很烦的一点就是比赛之后 $C$ 题居然 $Main$ $Test$ $Run$ $Time$ $Error$ 了，导致从 $1400$ 名掉到 $3500$ 名，还掉分了！

　　而且这个 $D1$ 我的一个同学写的比较简单，比我的代码短多了，还得继续加油啊！拜拜！

　　2023.5.19 upt:

　　我说那个同学代码怎么那么短。

　　哈哈哈，笑死我了，我居然没看出来 $k=3$ 时答案必然为 $1$。我真的哭死。

　　比赛时白白浪费一堆时间想 $k=3$ 的情况，还没写出来，真的笑死我了$qwq$!