CF1818D 题解

一、题目描述：

　　给你一颗 $n$ 个点，$m$ 条边的简单无向图，可能不连通。

　　我们定义 $\mathrm{鱼}\mathrm{图}$ 为满足以下条件的无向图：

　　　　$\mathrm{包}\mathrm{含}\mathrm{恰}\mathrm{好}1\mathrm{个}\mathrm{环}，\mathrm{环}\mathrm{上}\mathrm{有}1\mathrm{个}\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{点}u，u\mathrm{除}\mathrm{了}\mathrm{连}\mathrm{在}\mathrm{环}\mathrm{上}\mathrm{的}2\mathrm{条}\mathrm{边}\mathrm{外}\mathrm{还}\mathrm{正}\mathrm{好}\mathrm{有}2\mathrm{条}\mathrm{边}\mathrm{连}\mathrm{向}\mathrm{不}\mathrm{在}\mathrm{此}\mathrm{环}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{点}。$

　　求是否存 $\mathrm{鱼}\mathrm{图}$。若存在，输出 $YES$ 和这个鱼图。若不存在，输出 $NO$。数据范围 $1\le n,m\le 2\times {10}^3$。

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 二、解题思路：

　　我们考虑找到上述 $\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{的}\mathrm{节}\mathrm{点}$ 。

　　发现这个节点只要在环中，并且只要有 $4$ 条边就行了。

　　边数好判断，怎么判断一个点是否在环中呢？

　　$sb-yhy$ 告诉我们，可以用拓扑排序判环。

　　是的，我们确实可以用拓扑排序判环，于是我就寄了。

　　给大家看这样一个图：

　　

　　这个神奇的 $4$ 号节点其实不在环上，但是却不会被判出来。

　　所以，可以使用拓扑排序判断是否有环，但不能使用拓扑排序判断一个点是否在环上。

　　那该如何判断呢？考虑 $dfs$ 找环，于是我就又寄了。

　　给大家看这样一个图：

　　

　　在这个图中，如果我们找到的环是 $4-1-3-2-4$，你就会发现 $4$ 号节点只剩下一条边没有连在环上，满足不了 $\mathrm{鱼}\mathrm{图}$ 的条件了。

　　所以我们要找最小环。于是请 $bfs$ 登场。

　　记录下前驱，如果搜到已经搜过的点，那么环就找到了，于是我又寄了。

　　回到最上面那个图： 

　　

　　我们会搜索到 $2$ 号和 $3$ 号节点相连，但 $4$ 号节点仍然不在环中。

　　所以我 $\mathrm{很}\mathrm{聪}\mathrm{明}\mathrm{的}$ 去看了题解，得到了 $Alex\mathrm{\_}wei$ 的启发：

　　　　$\mathrm{记}\mathrm{录}\mathrm{下}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{节}\mathrm{点}\mathrm{是}\mathrm{从}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{哪}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{邻}\mathrm{接}\mathrm{点}\mathrm{出}\mathrm{来}\mathrm{的}，\mathrm{记}\mathrm{为}to{p}_i。\mathrm{如}\mathrm{果}to{p}_i\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{样}，\mathrm{则}\mathrm{找}\mathrm{到}\mathrm{了}\mathrm{环}。$

　　于是我终于 $\mathrm{顺}\mathrm{利}$ 地过掉了这个题。时间复杂度 $O(n\times m)$。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define N 2010
#define to edge[i].v
using namespace std;
int T,n,m,x,u1,v1,cc,l,r;
int h[N],q[N],f[N],d[N],du[N],tp[N],vis[N],pre[N];
struct EDGE{
    int v,nxt;
}edge[N*2];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void print(int s,int u,int v)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=0;
    x=u;while(x!=s)f[x]=1,x=pre[x],cc++;
    x=v;while(x!=s)f[x]=1,x=pre[x],cc++;
    cout<<"Yes"<<'\n'<<cc<<'\n';
    x=u;while(x!=s)
        cout<<x<<" "<<pre[x]<<'\n',x=pre[x],cc--;
    x=v;while(x!=s)
        cout<<x<<" "<<pre[x]<<'\n',x=pre[x],cc--;
    cout<<u<<" "<<v<<'\n',cc--;
    for(int i=head[s];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        if(!f[to]&&cc)    cout<<s<<" "<<to<<'\n',cc--;
}
int Try(int u)
{
    l=r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)    f[i]=0;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        q[++r]=to,pre[to]=u,f[to]=1,tp[to]=to;
    while(l<r)
    {
        int x=q[++l];
        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nxt)
            if(pre[x]!=to&&!vis[x])
            {
                if(!f[to])q[++r]=to,f[to]=1,pre[to]=x,tp[to]=tp[x];
                else if(tp[x]!=tp[to]) {print(u,x,to);return 1;}
            }
    }
    return 0;
}
void top_sort()
{
    l=r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=du[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(du[i]==1)
            q[++r]=i,vis[i]=1;
    while(l<r)
    {
        int u=q[++l];
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
        {
            du[to]--;
            if(!vis[to]&&du[to]<2)
                q[++r]=to,vis[to]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        du[i]=d[i];
}
void solve()
{
    cin>>n>>m;cnt=0;cc=3;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        head[i]=-1,f[i]=du[i]=vis[i]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u1>>v1;
        add(u1,v1),du[u1]++;
        add(v1,u1),du[v1]++;
    }
    top_sort();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(du[i]>=4&&!vis[i])
            if(Try(i))    return ;
    cout<<"NO"<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;i++)
        solve();
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　原来我的图论板块还有这么多漏洞，还得好好学啊。加油！拜拜！