AT_abc300_e 题解

一、题目描述：

　　你有一个骰子，数字 $1$~$6$ 可以被等概率扔到。

　　初始时有一个数 $ans=1$。

　　当扔到数字 $x$ 时，$ans=ans\times x$。

　　给你一个数字 $n$ ，求 $ans$ 能等于 $n$ 的概率。

　　$n<=1e18$。答案对 $998244353$ 取模。

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 二、解题思路：

　　当扔到 $1$ 时，相当于没扔，所以可以视为 5 个数

　　求出 $n$ 的质因数 $2$，$3$，$5$ 的个数，设有 $an{s}_2$ 个 $2$，$an{s}_3$ 个 $3$，$an{s}_5$ 个 $5$。

　　一个 $6$ 相当于一个 $2$ 和一个 $3$ 相乘，一个 $4$ 相当于两个 $2$ 相乘。

　　枚举 $4$ 的数量，再枚举 $6$ 的数量，再套组合数板子：多重集的排列数量。

　　最后求和。需要用到逆元，阶乘。时间复杂度 $O(lo{g}^{3}n)$，可以通过。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;
ll n,t2=1,rans,jc[100];
ll ans2,ans3,ans5;
ll qsm(ll base,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)    ans*=base,ans%=mod;
        base*=base,base%=mod,p>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    cin>>n;jc[0]=1;
    while(n&&n%2==0)
        ans2++,n/=2;
    while(n&&n%3==0)
        ans3++,n/=3;
    while(n&&n%5==0)
        ans5++,n/=5;
    if(n!=1)
    {
        cout<<0<<'\n';
        return 0;
    }
    for(ll i=1;i<=70;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    for(ll i=0;i<=min(ans2,ans3);i++)
        for(int j=0;j*2<=ans2-i;j++)
        {
            ll t=ans2+ans3+ans5-i-j;
            t2=jc[t]*qsm(qsm(5,t),mod-2)%mod;
            t2*=qsm(jc[i],mod-2),t2%=mod;
            t2*=qsm(jc[j],mod-2),t2%=mod;
            t2*=qsm(jc[ans5],mod-2),t2%=mod;
            t2*=qsm(jc[ans3-i],mod-2),t2%=mod;
            t2*=qsm(jc[ans2-i-j*2],mod-2),t2%=mod;
            rans+=t2,rans%=mod;
        }
    cout<<rans<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　很好的一道题，对我来说有难度。这次是完全自己想出来的，很高兴，可惜是在比赛后十分钟写出来的 $qwq$！不过还是加油吧！拜拜!