上指标求和&二项式反演推导证明

一、上指标求和

　　虽然很简单，但还是写一下吧，加深印象。

　　要证明的是 $\sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$

　　 $O I W i k i$ 给出了提示，往 $n + 1$ 个元素中选 $k + 1$ 的子集方面想。

　　枚举第 $k + 1$ 个元素是在第 $i$ 个位置被选中的。

　　 $(\binom{n + 1}{k + 1}) = \sum_{i = 1}^{n + 1} (\binom{i - 1}{k}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{k})$

　　命题得证。 $E a s y!$

二、二项式反演

　　记 $f_{n}$ 表示恰好使用 $n$ 个不同元素形成特定结构的方案数， $g_{n}$ 表示从 $n$ 个不同元素中选出 $i \geq 0$ 个元素形成特定结构，其余 $n - i$ 个元素不管的总方案数。

　　那么显然有 $g_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f_{n}$

　　若已知 $g_{i}$ 求 $f_{i}$ ，那么有 $f_{n} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (- 1)^{n - i} \times g_{i}$

　　上述已知 $g_{n}$ 求 $f_{n}$ 的过程，就称为 二项式反演。

　　证明：直接将 $g_{i} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f_{i}$ 带入式子。

　　 $f_{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (- 1)^{n - i} \times \sum_{j = 0}^{i} (\binom{i}{j}) f_{j}$

　　 $= \sum_{j = 0}^{n} \sum_{i = j}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{i}{j}) (- 1)^{n - i} f_{j}$

　　 $= \sum_{j = 0}^{n} \sum_{i = j}^{n} (\binom{n}{j}) (\binom{n - j}{i - j}) (- 1)^{n - i} f_{j}$

　　 $= \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) f_{j} \sum_{i = j}^{n} (\binom{n - j}{i - j}) (- 1)^{n - i}$

　　 $= \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) f_{j} \sum_{i = 0}^{n - j} (\binom{n - j}{i}) (- 1)^{n - j - i}$

　　下一步要记一下，遇到求 $\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i}$ 的形式考虑使用二项式定理。

　　令 $k = n - j$ ，原式 $= \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) f_{j} \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) (- 1)^{k - i} 1^{k}$

　　根据二项式定理 $(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i}$

　　取 $a = 1, b = - 1$ ，得 $0^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) 1^{i} (- 1)^{n - i} = [n = 0]$

　　原式 $= \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) f_{j} [n = j] = f_{n}$ 命题得证！

三、二项式反演的拓展

　　记 $f_{n}$ 表示恰好使用 $n$ 个不同元素形成特定结构的方案数， $g_{n}$ 钦定选出 $n$ 个不同元素，其他元素不管的形成特定结构的总方案数。

　　计 $k$ 为元素总数，那么显然有 $g_{n} = \sum_{i = n}^{k} (\binom{i}{n}) f_{i}$

　　若已知 $g_{n}$ 求 $f_{n}$ ，那么有 $f_{n} = \sum_{i = n}^{k} (\binom{i}{n}) (- 1)^{i - n} \times g_{i}$

　　上述已知 $g_{n}$ 求 $f_{n}$ 的过程，同样称为称为 二项式反演。

　　证明：直接将 $g_{n} = \sum_{i = n}^{k} (\binom{i}{n}) f_{i}$ 带入式子。

　　 $f_{n} = \sum_{i = n}^{k} (\binom{i}{n}) (- 1)^{i - n} \times \sum_{j = i}^{k} (\binom{j}{i}) f_{j}$

　　 $= \sum_{j = n}^{k} \sum_{i = n}^{j} (\binom{i}{n}) (\binom{j}{i}) (- 1)^{i - n} f_{j}$

　　 $= \sum_{j = n}^{k} \sum_{i = n}^{j} (\binom{j}{n}) (\binom{j - n}{i - n}) (- 1)^{i - n} f_{j}$

　　 $= \sum_{j = n}^{k} (\binom{j}{n}) f_{j} \sum_{i = n}^{j} (\binom{j - n}{i - n}) (- 1)^{i - n}$

　　 $= \sum_{j = n}^{k} (\binom{j}{n}) f_{j} \sum_{i = 0}^{j - n} (\binom{j - n}{i}) (- 1)^{i}$

　　令 $k = j - n$ ，原式 $= \sum_{j = n}^{k} (\binom{j}{n}) f_{j} \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) (- 1)^{i} 1^{k - i}$

　　根据二项式定理 $(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a^{i} b^{n - i}$

　　取 $a = - 1, b = 1$ ，得 $0^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) 1^{i} (- 1)^{n - i} = [n = 0]$

　　原式 $= \sum_{j = n}^{k} (\binom{j}{n}) f_{j} [n = j] = f_{n}$ 命题得证！

　　大概是还有一些其他的类似形式，我懒得推了。

posted on 2024-02-05 20:40 trh0630 阅读(306) 评论(0) 编辑收藏举报

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