P8367 [LNOI2022] 盒题解

一、题目描述：

　　给定一个长度为 $n$ 的序列 $B$ ，和一个长度为 $n - 1$ 的序列 $C$ 。

　　保证 $b_{i} >= 0$ 。令 $S = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ 。

　　一个长度为 $n$ 的且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = S$ 序列 $A$ 的代价按照如下计算：

　　　　你可以若干次任意选择一个 $i \in [1, n - 1]$ ，然后选择下面两项之一：

　　　　1、 $a_{i} + +, a_{i + 1} - -$

　　　　2、 $a_{i} - -, a_{i + 1} + +$

　　　　此操作的代价为 $c_{i}$

　　　　 $A$ 的代价即为把 $A$ 变成 $B$ 的最小代价。

　　求出所有长度为 $n, a_{i} >= 0$ 且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = S$ 的 $A$ 的代价和。答案对 $998244353$ 取模。

　　数据范围： $1 \leq n \leq 5 \times 10^{5}, 0 \leq S \leq 2 * 10^{6}$ 。

二、解题思路：

　　令 $S a_{i} = \sum_{k = 1}^{i} a_{k}, S b_{i} = \sum_{k = 1}^{i} b_{k}$ ，于是可以比较简单地列出式子：

　　 $a n s = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{S a_{i} = 0}^{V} | S a_{i} - S b_{i} | \times (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1}) = a n s_{1} + a n s_{2}$

　　　　 $a n s_{1} = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{S a_{i} = 0}^{S b_{i}} (S b_{i} - S a_{i}) \times (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1}) = \sum_{i = 1}^{n - 1} (B 1_{i} - A 1_{i})$

　　　　　　 $B 1_{i} = S b_{i} \times \sum_{S a_{i} = 0}^{S b_{i}} (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　 $单独考虑式子 G_{B 1} (n, V, p, k) = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{i + p - 1}{p - 1}) (\binom{V + n - p - i - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $G_{B 1} (n, V, p, k + 1) = G_{B 1} (n, V, p, k) + (\binom{k + p}{p - 1}) (\binom{V + n - p - k - 2}{n - p - 1})$

　　　　　　 $考虑组合意义， G_{B 1} (n, V, p, k) 表示前 p 个盒子小球总数小于等于 k 的方案数$

　　　　　　 $枚举 j 使得第 (k + 1) 个小球放在 j 这个盒子里$

　　　　　　 $则 G_{B 1} (n, V, p, k) = \sum_{j = p + 1}^{n} (\binom{k - 1 + j}{j - 1}) (\binom{V - k - 1 + n - j}{n - j})$

　　　　　　 $易得 G_{B 1} (n, V, p + 1, k) = G_{B 1} (n, V, p, k) - (\binom{k + p}{p}) (\binom{V - k - 2 + n - p}{n - p - 1})$

　　　　　　 $初始化 k = 0, p = 1, G_{B 1} (n, V, p, k) = (\binom{V + n - 2}{n - 2})$

　　　　　　 $于是 B 1_{i} 得到总复杂度 O (n + V) 的转移$

　　　　　　 $A 1_{i} = \sum_{S a_{i} = 0}^{S b_{i}} S a_{i} \times (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　　　 $= \sum_{S a_{i} = 0}^{S b_{i}} S a_{i} \times \frac{(S a_{i} + i - 1)!}{(i - 1)! \times (S a_{i})!} (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　　　 $= \sum_{S a_{i} = 0}^{S b_{i}} i \times \frac{(S a_{i} + i - 1)!}{i! \times (S a_{i} - 1)!} (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　　　 $= i \times \sum_{S a_{i} = 0}^{S b_{i}} (\binom{S a_{i} + i - 1}{i}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　 $单独考虑式子 G_{A 1} (n, V, p, k) = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{i + p - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - p - i - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $G_{A 1} (n, V, p, k) = G_{B 1} (n + 1, V - 1, p + 1, k - 1)$

　　　　　　 $G_{A 1} (n, V, p, k + 1) = G_{A 1} (n, V, p, k) + (\binom{k + p}{p}) (\binom{V + n - p - k - 2}{n - p - 1})$

　　　　　　 $G_{A 1} (n, V, p + 1, k) = G_{A 1} (n, V, p, k) - (\binom{k + p}{p + 1}) (\binom{V + n - p - k - 2}{n - p - 1})$

　　　　　　 $初始化 k = 0, p = 1, G_{A 1} (n, V, p, k) = 0$

　　　　　　 $于是 A 1_{i} 得到总复杂度 O (n + V) 的转移$

　　　　 $于是可以 O (n + V) 求出 a n s 1$

　　　　 $a n s_{2} = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{S a_{i} = S b_{i}}^{V} (S a_{i} - S b_{i}) \times (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1}) = \sum_{i = 1}^{n - 1} (A 2_{i} - B 2_{i})$

　　　　　　 $B 2_{i} = S b_{i} \times \sum_{S a_{i} = S b_{i}}^{V} (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　 $单独考虑式子 G_{B 2} (n, V, p, k) = \sum_{i = k}^{V} (\binom{i + p - 1}{p - 1}) (\binom{V + n - p - i - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $考虑组合意义， G_{B 2} (n, V, p, k) 表示前 n - p 个盒子小球总数小于等于 V - k 的方案数$

　　　　　　 $G_{B 2} (n, V, p, k) = G_{B 1} (n, V, n - p, V - k)$

　　　　　　 $G_{B 2} (n, V, p, k + 1) = G_{B 2} (n, V, p, k) - (\binom{k + p - 1}{p - 1}) (\binom{V + n - p - k - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $G_{B 2} (n, V, p + 1, k) = G_{B 2} (n, V, p, k) + (\binom{k + p - 1}{p}) (\binom{V + n - p - k - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $初始化 k = 0, p = 1, G_{B 2} (n, V, p, k) = (\binom{V + n - 1}{n - 1})$

　　　　　　 $于是 B 2_{i} 得到总复杂度 O (n + V) 的转移$

　　　　　　 $A 2_{i} = \sum_{S a_{i} = S b_{i}}^{V} S a_{i} \times (\binom{S a_{i} + i - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　　　 $= \sum_{S a_{i} = S b_{i}}^{V} S a_{i} \times \frac{(S a_{i} + i - 1)!}{(i - 1)! \times (S a_{i})!} (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　　　 $= \sum_{S a_{i} = S b_{i}}^{V} i \times \frac{(S a_{i} + i - 1)!}{i! \times (S a_{i} - 1)!} (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　　　 $= i \times \sum_{S a_{i} = S b_{i}}^{V} (\binom{S a_{i} + i - 1}{i}) (\binom{V + n - i - S a_{i} - 1}{n - i - 1})$

　　　　　　 $单独考虑式子 G_{A 2} (n, V, p, k) = \sum_{i = k}^{V} (\binom{i + p - 1}{i - 1}) (\binom{V + n - p - i - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $G_{A 2} (n, V, p, k) = G_{A 1} (n, V, p, V) - G_{A 1} (n, V, p, k - 1)$

　　　　　　 $G_{A 2} (n, V, p, k + 1) = G_{A 2} (n, V, p, k) - (\binom{k + p - 1}{k - 1}) (\binom{V + n - p - k - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $G_{A 2} (n, V, p + 1, k) = G_{A 2} (n, V, p, k) + (\binom{k + p - 1}{p + 1}) (\binom{V + n - p - k - 1}{n - p - 1})$

　　　　　　 $初始化 k = 0, p = 1, G_{A 2} (n, V, p, k) = \sum_{i = 0}^{V} i (\binom{V + n - i - 2}{n - 2})$

　　　　　　 $这个初始化看得我很不爽，很想 O (1) 初始化，于是又推一下式子喽：$

　　　　　　 $原式 = \sum_{i = 0}^{V} i (\binom{V + n - 2 - i}{n - 2})$

　　　　　　　　 $= \sum_{i = n - 2 - V}^{n - 2} (n - 2 - i) \times (\binom{V + i}{n - 2})$

　　　　　　　　 $= \sum_{i = n - 2 - V}^{n - 2} (n - 2) \times (\binom{V + i}{n - 2}) - \sum_{i = n - 2}^{n - 2 + V} (i - V) \times (\binom{i}{n - 2})$

　　　　　　　　 $= V \times \sum_{i = 0}^{V} (\binom{i + n - 2}{n - 2}) - (n - 1) \times \sum_{i = 0}^{V} (\binom{i + n - 2}{n - 1})$

　　　　　　 $这一步运用上指标求和，即 \sum_{i = 0}^{n} (\binom{i}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}) 。这也是我第一次运用上指标求和$

　　　　　　 $原式 = V \times (\binom{V + n - 1}{V}) - (n - 1) \times (\binom{V + n - 1}{n})$

　　　　　　　　 $= n \times (\binom{V + n - 1}{n}) - n \times (\binom{V + n - 1}{n}) + (\binom{V + n - 1}{n})$

　　　　　　　　 $= (\binom{V + n - 1}{n})$

　　　　　　 $于是 A 2_{i} 得到总复杂度 O (n + V) 的转移$

　　　　 $于是可以 O (n + V) 求出 a n s 2$

　　 $于是可以 O (n + V) 求出 a n s$

　　式子推完了，说一下这题的几个关键点。

　　1、一开始要敢大胆写式子，大胆拆式子。

　　2、关于 $A 1_{i}, A 2_{i}$ 的转化应该是套路，学着点，把枚举的系数给他消了。

　　3、 $B 1_{i}, B 2_{i}$ 中考虑组合意义确实是神来之笔，多练练吧。

　　4、式子可以写成函数的形式，然后可以往已经推出来的函数上面转化。感觉这题里的转化方式还不少。

　　5、个人暂时水平较低，对于组合数中出现负数的情况尽量避免，调整好枚举的变量即可。

三、完整代码：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 #define N 2500020
 4 #define lim 2500010
 5 #define ll long long
 6 #define mod 998244353 
 7 #define rep(i,l,r) for(ll i=l;i<=r;i++)
 8 #define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
 9 
10 using namespace std;
11 
12 ll n,ans,A,B,F,G,V;
13 ll p,k,a11,a12,a21,a22;
14 
15 ll fac[N],inv[N];
16 ll a[N],b[N],c[N]; 
17 
18 ll ksm(ll base,ll q){
19     ll res=1; while(q){
20         if(q&1) res*=base,res%=mod;
21         base*=base,base%=mod,q>>=1;
22     } return res;
23 }
24 void add(ll &u,ll v){
25     u+=v;
26     if(u>=mod) u-=mod;
27 }
28 ll C(ll n,ll m){
29     if(n<0||m<0||n<m) return 0;
30     return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
31 }
32 
33 ll calc(ll x){
34     B=n-1;A=B+V-k;
35     if(p<x){
36         F=C(A-p-1,B-p),G=C(A-p,B-p);
37         add(a21,(C(k+p,p)*F+C(k+p-1,p)*G)%mod);
38         add(a22,(C(k+p,p+1)*F+C(k-1+p,p+1)*G)%mod);
39         p++;
40     }
41     
42     B=n-p-1;A=V+B;
43     while(k<b[x]){
44         F=C(A-k-1,B),G=C(A-k,B);
45         add(a12,(C(k+p,p)*F+C(k+p-1,p)*G)%mod);
46         add(a11,(C(k+p-1,k)*G+C(k+p,p-1)*F)%mod);
47         k++;
48     }
49     return ((mod+a11-a21)*b[x]+(mod+a22-a12)*x)%mod*c[x]%mod;
50 }
51 
52 void solve(){
53     cin>>n; ans=0;
54     
55     rep(i,1,n) cin>>b[i];
56     rep(i,1,n-1) cin>>c[i];
57     rep(i,1,n) b[i]+=b[i-1];
58     
59     V=b[n]; p=1,k=0,a11=0,a12=0;
60     a21=C(V+n-2,V-1),a22=C(V+n-1,n);
61     
62     rep(i,1,n-1) add(ans,calc(i));
63     cout<<ans<<'\n';
64 }
65 
66 signed main(){
67     ios::sync_with_stdio(false);
68     cin.tie(0); cout.tie(0);
69     
70     fac[0]=1; rep(i,1,lim) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
71     inv[lim]=ksm(fac[lim],mod-2); per(i,lim,1) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
72     
73     ll T; cin>>T;
74     rep(i,1,T) solve();
75     
76     return 0;
77 }

四、写题心得：

　　好题，知识点不难，但题就是难，比较繁琐。

　　喜欢 $f e e c l e$ 选的题！拜谢。

　　还是掌握了许多推式子的技巧，收获很大，但太耗时间了 $q w q$

posted on 2024-02-05 10:45 trh0630 阅读(21) 评论(0) 编辑收藏举报

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