二项式定理推导证明

　　数学还是缺得太多了，今天写一发二项式定理的证明。

　　二项式定理： $(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) \times a^{n - i} b^{i}$

　　证明：

　　考虑归纳证明，当 $n = 0$ 时， $(a + b)^{0} = 1, (\binom{0}{0}) = 1, a^{0} = 1, b^{0} = 1$ ，显然满足。

　　已知 $\forall k \in [0, n - 1]$ 满足 $(a + b)^{k} = \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) \times a^{k - i} b^{i}$ ，求证 $(a + b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) \times a^{n - i} b^{i}$ 。

　　 $(a + b)^{n} = (a + b)^{n - 1} \times (a + b) = (\sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - 1 - i} b^{i}) \times (a + b)$

　　 $= a \times (\sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - 1 - i} b^{i}) + b \times (\sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - 1 - i} b^{i})$

　　 $= \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - i} b^{i} + \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - 1 - i} b^{i + 1}$

　　 $= \sum_{i = 0}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - i} b^{i} + \sum_{i = 1}^{n} (\binom{n - 1}{i - 1}) \times a^{n - i} b^{i}$

　　 $= (\binom{n - 1}{0}) \times a^{n} b^{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i}) \times a^{n - i} b^{i} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) \times a^{n - i} b^{i} + (\binom{n - 1}{n - 1}) \times a^{0} b^{n}$

　　 $= (\binom{n}{0}) \times a^{n} b^{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} ((\binom{n - 1}{i}) + (\binom{n - 1}{i - 1})) \times a^{n - i} b^{i} + (\binom{n}{n}) \times a^{0} b^{n}$

　　 $= (\binom{n}{0}) \times a^{n} b^{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n}{i}) \times a^{n - i} b^{i} + (\binom{n}{n}) \times a^{0} b^{n}$

　　 $= \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) \times a^{n - i} b^{i}$

　　证毕，完结撒花！

posted on 2024-02-02 10:29 trh0630 阅读(126) 评论(0) 编辑收藏举报

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