P3387 【模板】缩点 题解

一、题目描述：

　　给你一个 $n$ 个点，$m$ 条边的有向图。点带权。

　　求一条路径经过的所有点的权值和最大是多少。点、边可以重复经过。

　　数据范围：$1\le n\le 1\times {10}^4,1\le m\le 1\times {10}^5$ 。

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 二、解题思路：

　　缩点板子题，不需要思路。时间复杂度 $O(n+m)$ 。

　　$2023.9.20$ 更新：之前已知没有注意代码里面的这个 $f$ 数组，照着题解直接写过了。

　　现在看来其实我对 $f$ 数组的理解并不够深刻。

　　很明显的一点是：$f_i$ 表示 $i$ 这个节点当前在不在栈中。

　　如果不在栈中，说明已经作为一个新的连通块更新过了。

　　而这个联通块中没有当前节点，说明当前节点不属于这个连通块。

　　反正我现在已经领会到了，而且也不好解释清楚，就先这样吧。

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 三、完整代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#define N 10010
#define M 100010
using namespace std;
vector <int> s[N];
int n,m,l,r,cc,tot,maxx;
int f[N],q[N],d[N],in[N],val[N];
int dfn[N],ans[N],low[N],bel[N];
struct EDGE{
    int v,nxt;
}edge[M];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v)
{
    edge[++cnt].v=v;
    edge[cnt].nxt=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void tarjan(int u)
{
    f[u]=1;q[++r]=u;dfn[u]=low[u]=++tot;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt)
    {
        int to=edge[i].v;if(!dfn[to])
            tarjan(to),low[u]=min(low[u],low[to]);
        else if(f[to]) low[u]=min(low[u],dfn[to]);
        //我觉得更新low[u]原因只是为了 
        //让u知道他自己没资格做新的联通分量的起点
        //有点比他更适合=>极大联通子图 
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        cc++;do{
            bel[q[r]]=cc,f[q[r]]=0;
            s[cc].push_back(q[r]),r--;
        }while(q[r+1]!=u);
        //常规操作 
    } 
}
int top_sort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=head[i];j!=-1;j=edge[j].nxt)
            if(bel[edge[j].v]!=bel[i])
                in[bel[edge[j].v]]++;
    l=1,r=0;
    for(int i=1;i<=cc;i++)
        if(!in[i])
            q[++r]=i;
    while(l<=r)
    {
        int u=q[l];l++;
        for(int i:s[u])
            ans[u]+=val[i];
        for(int i:s[u])
            for(int j=head[i];j!=-1;j=edge[j].nxt)
            {
                int to=bel[edge[j].v];
                ans[to]=max(ans[to],ans[u]);
                in[to]--;if(!in[to])q[++r]=to;
            }
    }
    for(int i=1;i<=cc;i++)
        maxx=max(maxx,ans[i]);
    return maxx;
    //感觉拓扑排序不是很必要，月赛写了个dfs也过了 
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>val[i],head[i]=-1;
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
        cin>>u>>v,add(u,v);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    cout<<top_sort()<<'\n';
    return 0;
}

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四、写题心得：

　　好的，复习了缩点。众所周知初学是在昨天。收获经验如下：

　　$1、\mathrm{不}\mathrm{要}\mathrm{自}\mathrm{己}\mathrm{想}\mathrm{奇}\mathrm{怪}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{来}\mathrm{写}\mathrm{缩}\mathrm{点}，\mathrm{复}\mathrm{杂}\mathrm{度}\mathrm{高}\mathrm{还}\mathrm{没}\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{性}=>Exp++$

　　$2、\mathrm{以}\mathrm{后}\mathrm{千}\mathrm{万}\mathrm{不}\mathrm{要}\mathrm{用}vector\mathrm{来}\mathrm{写}\mathrm{缩}\mathrm{点}！\mathrm{常}\mathrm{数}\mathrm{太}\mathrm{大}\mathrm{了}！\mathrm{常}\mathrm{数}\mathrm{太}\mathrm{大}\mathrm{了}！=>Exp++$