数独算法-递归与回溯
1.概述
数独（Sudoku）是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。
1)终盘数量:
数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘的数字组合呢？
6,670,903,752,021,072,936,960（约为6.67×10的21次方）种组合，2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出该数字，并将计算方法发布在他们网站上，如果将等价终盘（如旋转、翻转、行行对换，数字对换等变形）不计算，则有5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘又可以制作出无数道合格的数独题目。
2)标准数独:
目前（截止2011年）发现的最少提示数9×9标准数独为17个提示，截止2011年11月24日16:14，共发现了非等价17提示数谜题49151题，此数量仍在缓慢上升中，如果你先发现了17提示数的题目，可以上传至“17格数独验证”网站，当然你也可以在这里下载这49151题。
Gary McGuire的团队在2009年设计了新的算法，利用Deadly Pattern的思路，花费710万小时CPU时间后，于2012年1月1日提出了9×9标准数独不存在16提示唯一解的证明，继而说明最少需要17个提示数。并将他们的论文以及源代码更新在2009年的页面上。
以上内容来自于百度百科。
2.算法实现（Java）
网络上有很多解数独的算法，例如舞蹈链算法、遗传算法等。参考各种算法的性能比较：
递归回溯对数独情有独钟。
本文解数独用的是候选数法（人工选择）+万能搜索法，搜索+剪枝（递归+回溯），参考博文：
数独算法及源代码
1）未优化的算法-只有递归回溯（单解或多解）
从第一个位置开始依次检索所有格子（暴力），执行时间会比较长。
多解与单解：很简单，在找到解的语句返回false表示继续递归寻解，返回true表示停止寻解（不会复位，不回溯）
package com.sudoku;
import java.util.Date;
public class Sudoku {
private int[][] matrix = new int[9][9];//注意下标从0开始
private int count=0;//解的数量
private int maxCount = 1;//解的最大数量
//输入格式要求0作为占位符(表示待填)，只接受数字字符串，长度为81位
public Sudoku(String input,int maxCount) throws Exception{
if(input==null||input.length()!=81||!input.matches("[0-9]+"))
throw new Exception("必须为81位长度的纯数字字符串");
init(input);
this.maxCount = maxCount;
}
public Sudoku(String input) throws Exception{
this(input,1);
}
public Sudoku(){
}
public int getCount(){
return count;
}
//初始化数独
private void init(String input){
for(int i=0;i<input.length();i++)
{
String s = input.substring(i, i+1);
int value = Integer.parseInt(s);
matrix[i/9][i%9]=value;
}
}
//万能解题法的“搜索+剪枝”,递归与回溯
//从(i,j)位置开始搜索数独的解,i和j最大值为8
private boolean execute(int i,int j){
//寻找可填的位置（即空白格子），当前(i,j)可能为非空格，从当前位置当前行开始搜索
outer://此处用于结束下面的双层循环
for(int x=i;x<9;x++){
for(int y=0;y<9;y++){
if(matrix[x][y]==0){
i=x;
j=y;
break outer;
}
}
}
//如果从当前位置并未搜索到一个可填的空白格子，意味着所有格子都已填写完了，所以找到了解
if(matrix[i][j]!=0){
count++;
System.out.println("第"+count+"种解:");
output();
if(count==maxCount)
return true;//return true 表示只找寻一种解，false表示找所有解
else
return false;
}
//试填k
for(int k=1;k<=9;k++){
if(!check(i,j,k)) continue;
matrix[i][j] = k;//填充
//System.out.println(String.format("(%d,%d,%d)",i,j,k));
if(i==8&&j==8) {//填的正好是最后一个格子则输出解
count++;
System.out.println("第"+count+"种解:");
output();
if(count==maxCount)
return true;//return true 表示只找寻一种解，false表示找所有解
else
return false;
}
//计算下一个元素坐标，如果当前元素为行尾，则下一个元素为下一行的第一个位置（未填数），
//否则为当前行相对当前元素的下一位置
int nextRow = (j<9-1)?i:i+1;
int nextCol = (j<9-1)?j+1:0;
if(execute(nextRow,nextCol)) return true;//此处递归寻解，若未找到解，则返回此处,执行下面一条复位语句
//递归未找到解，表示当前(i,j)填k不成功，则继续往下执行复位操作，试填下一个数
matrix[i][j] = 0;
}
//1~9都试了
return false;
}
public void execute(){
execute(0,0);//从第一个位置开始递归寻解
}
//数独规则约束，行列宫唯一性,检查(i,j)位置是否可以填k
private boolean check(int i,int j,int k){
//行列约束,宫约束，对应宫的范围 起始值为(i/3*3,j/3*3),即宫的起始位置行列坐标只能取0,3,6
for(int index=0;index<9;index++){
if(matrix[i][index]==k) return false;
if(matrix[index][j]==k) return false;
if(matrix[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]==k) return false;
}
return true;
}
public void output(){
for(int i=0;i<9;i++){
for(int j=0;j<9;j++)
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args) {
try {
//Sudoku sudoku = new Sudoku("000000000000000012003045000000000036000000400570008000000100000000900020706000500");
Sudoku sudoku = new Sudoku("123456789456789123789123456234567891567891234891234567345000000000000000000000000",10);
//Sudoku sudoku = new Sudoku();
sudoku.output();
Date begin = new Date();
sudoku.execute();
System.out.println("执行时间"+(new Date().getTime()-begin.getTime())+"ms");
if(sudoku.getCount()==0) System.out.println("未找到解");
} catch (Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
}
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执行效果：
原数独：
123456789
456789123
789123456
234567891
567891234
891234567
345000000
000000000
000000000- 1
- 2
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2）优化算法-添加（唯一法或唯余法、摒除法、三链数删减法）
由于前面一种未经过优化搜索条件，属于“暴力型”解法（Brute Force），若碰到需要递归非常大的空间时，消耗时间将是非常长的，还有可能会抛出内存溢出的异常。如果按照人的思维去解数独，绝对不会像计算机一样呆呆的一个一个地去试，相反，人工解数独首先考虑的是将候选数最少（通常为1，必填）的格子先肯定的填上去，各种方法都用尽后，所谓山穷水尽时才会考虑试填，（即计算机的运作方式：递归回溯），而试填时也是从最少的候选数的格子开始（通常为2），这样能有效的找到解，而计算机只能使用暴力。所以，在算法中加上人工智能选择的话，可以大大提高执行效率。
基本解题方法：隐性唯一解（Hidden Single）及显性唯一解（Naked Single），摒除法，余数法，候选数法
进阶解题方法：区块摒除法（Locked Candidates）、数组法（Subset）、四角对角线（X-Wing）、唯一矩形（Unique Rectangle）、全双值坟墓（Bivalue Universal Grave）、单数链（X-Chain）、异数链（XY-Chain）及其他数链的高级技巧等等。参考度娘：数独技巧
要仿照人工求解模式，需要采用候选数法对候选数进行删减法，其中可以应用到唯一（余）法，摒除法（行列宫）等。对应关系：
唯一（余）法：某个格子的候选数只剩下一个数字，则该数字必填如该格子。对应于唯一候选数法
摒除法：如果某个数字在某宫所有格子的所有候选数中总共只出现一次，则该数字必填入候选数包含它的那个格子中。行列情况同理。对应于隐性唯一候选数法。
三链数删减法:找出某一列、某一行或某一个九宫格中的某三个宫格候选数中，相异的数字不超过3个的情形，
进而将这3个数字自其它宫格的候选数中删减掉的方法就叫做三链数删减法。
这样程序执行流程是：
-
反复应用候选数删减法寻找必填项，直到候选数未发生变化（即找不到必填项了）
-
然后才递归寻解（如果上一步骤找到了解，那递归寻解只输出解了）
package com.sudoku;
import java.util.Date;
import java.util.HashSet;
import java.util.Set;
public class Sudoku {
private int[][] matrix = new int[9][9];//注意下标从0开始
private String[][] candidature= new String[9][9];//表示候选数
private int count=0;//用于统计解的数量
private int maxCount = 1;//解的最大数量
//输入格式要求0作为占位符(表示待填)，只接受数字字符串，长度为81位
public Sudoku(String input,int maxCount) throws Exception{
if(input==null||input.length()!=81||!input.matches("[0-9]+"))
throw new Exception("必须为81位长度的纯数字字符串");
init(input);
output();
this.maxCount = maxCount<=0?1:maxCount;
if(!isValid())
throw new Exception("无效数独(有数字重复)");
if(!initCandidature())
throw new Exception("不合格数独（无解数独）");
}
public Sudoku(String input) throws Exception{
this(input,1);
}
public Sudoku(){
}
public int getCount(){
return count;
}
//初始化数独和候选数
private void init(String input){
for(int i=0;i<input.length();i++)
{
String s = input.substring(i, i+1);
int value = Integer.parseInt(s);
matrix[i/9][i%9]=value;
}
}
//校验给出的数独题目是否为有效数独（即某行列宫中有重复的数字则无效）
private boolean isValid(){
Set<Integer> rowSet = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> colSet = new HashSet<Integer>();
Set<Integer> gridSet = new HashSet<Integer>();
for(int x=0;x<9;x++){//对应于行列宫号，对应宫的起始位置为(x/3*3,x%3*3) 取余与乘除优先级相同
rowSet.clear();
colSet.clear();
gridSet.clear();
for(int index=0;index<9;index++){
if(matrix[x][index]>0&&!rowSet.add(matrix[x][index])){ //行重复
System.out.println(String.format("数独无效,第%d行重复！",x+1));
return false;
}
if(matrix[index][x]>0&&!colSet.add(matrix[index][x])){//列重复
System.out.println(String.format("数独无效,第%d列重复！",x+1));
return false;
}
if(matrix[x/3*3+index/3][x%3*3+index%3]>0&&!gridSet.add(matrix[x/3*3+index/3][x%3*3+index%3])){
System.out.println(String.format("数独无效,第%d宫重复！",x+1));
return false;//宫重复
}
}
}
return true;
}
//初始化候选数(唯一法或唯余法),数独无解返回false
private boolean initCandidature() throws Exception{
for(int i=0;i<9;i++){
for(int j=0;j<9;j++){
if(matrix[i][j]>0) continue;
candidature[i][j]="";
for(int k=1;k<=9;k++){
if(check(i,j,k))
{
candidature[i][j] += k;
}
}
//如果待填格子候选数个数为0，不合格数独（无解数独）
if(candidature[i][j]==null||candidature.length==0)
{
return false;//无解数独
}
//候选数个数为1，对应于唯一法或唯余法，可以100%的将该候选数填入该格子中，并重新计算候选数
if(candidature[i][j].length()==1){
int k = Integer.parseInt(candidature[i][j]);
matrix[i][j] = k;
System.out.println(String.format("唯一(余)法必填项(%d,%d,%d)",i,j,k));
deleteCandidature(i,j,k);
}
//System.out.println(String.format("(%d,%d)",i,j)+"->"+candidature[i][j]);
}
}
return true;
}
//删除(i,j)等位格群上的候选数k，当(i,j)上可以肯定的填入数字k时(等位格局包含除自身外共20个格子)
//每次调用此方法后，候选数发生了变化，需要再次检查唯一（余）性质
//只要有一个候选数发生了删减，则返回true
private boolean deleteCandidature(int i,int j,int k){
boolean change = false;
for(int index=0;index<9;index++){
if(matrix[i][index]==0&&candidature[i][index]!=null&&candidature[i][index].contains(""+k)) {
candidature[i][index] = candidature[i][index].replace(""+k,"");
change = true;
}
if(matrix[index][j]==0&&candidature[index][j]!=null&&candidature[index][j].contains(""+k)){
candidature[index][j] = candidature[index][j].replace(""+k,"");
change = true;
}
if(matrix[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]==0&&candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]!=null
&&candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3].contains(""+k)){
candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3] = candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3].replace(""+k,"");
change = true;
}
}
return change;
}
//唯一法或唯余法或唯一候选数法，检查每个格子候选数的个数是否为1
//此为最基础的方法、应用其他方法发生了删减候选数时都要应用此方法检查一遍
private boolean single(){
System.out.println("唯一法或唯余法:");
boolean change = false;//表示是否候选数是否发生变化(当有删除候选数操作时则发生了变化)
for(int i=