八皇后——回溯法

八皇后问题（英文：Eight queens），是由国际象棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出的问题，是回溯算法的典型案例。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。如果经过±90度、±180度旋转，和对角线对称变换的摆法看成一类，共有42类。

计算机发明后，有多种计算机语言可以编程解决此问题。

问题表述为：在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。

 

思路：每一行、一列、左斜、右斜都只能放置一个皇后，那么可以用一个数组attack表示当前可以放置的位置，（数组queen存储答案）每放置一个皇后就在她所在的行、列、左斜、右斜都进行标志，如果行、列、左斜、右斜任意一个已被标志，那么就改变皇后位置继续进行比较，直到可以放置或当前列没有位置后进行回溯

 

代码求解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//实现在(x,y)放置皇后，对attack数组的更新
//x,y表示放置皇后的坐标，二维数组attack表示棋盘是否可放置皇后
void put_queen(int x,int y,vector<vector<int>>&attack){
    //dx,dy是方向数组，方便后面对8个方向进行标记
    static const int dx[]={-1,1,0,0,-1,-1,1,1};
    static const int dy[]={0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
    attack[x][y]=1;//将皇后位置标记为1
    //通过两层循环，将该皇后可能攻击到的位置进行标记
    for(int i=1;i<attack.size();i++){//从皇后位置向1到n-1个距离延伸
        for(int j=0;j<8;j++){//遍历8个方向
            int nx=x+i*dx[j];//生成的新位置行
            int ny=y+i*dy[j];//生成的新位置列
            //新位置在棋盘范围内
            if(nx>=0&&nx<attack.size()&&ny>=0&&ny<attack.size()){
                attack[nx][ny]=1;//将新位置标记为1
            }
        }
    }
}
//回溯法求解N皇后的递归函数
//k表示当前处理的行
//n表示N皇后问题
//queen存储皇后的位置
//attack标记皇后的攻击位置
//solve存储N皇后的全部解法
void backtrack(int k,int n,vector<string>&queen,vector<vector<int>>&attack,vector<vector<string>>&solve){
    if(k==n){//找到一组解
        solve.push_back(queen);//将结果queen存储至solve
        return;//返回
    }
    //遍历0至n-1列，在循环种，回溯试探皇后可知放置的位置
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(attack[k][i]==0){//判断当前第k行第i列是否可以放置皇后
            vector<vector<int>> tmp=attack;//备份attack数组
            queen[k][i]='Q';//标记该位置为'Q'
            put_queen(k,i,attack);//更新attack数组
            backtrack(k+1,n,queen,attack,solve);//递归试探k+1行的皇后放置
            attack=tmp;//恢复attack数组
            queen[k][i]='.';//恢复queen数组
        }
    }
}

vector<vector<string>> solveNQueens(int n){
    vector<vector<string>>solve;//存储最后结果
    vector<vector<int>>attack;//标记皇后的攻击位置
    vector<string> queen;//保存皇后位置
    //使用循环初始化attack和queen数组
    for(int i=0;i<n;i++){
        attack.push_back(std::vector<int>());
        for(int j=0;j<n;j++) attack[i].push_back(0);
        queen.push_back("");
        queen[i].append(n,'.');
    }
    backtrack(0,n,queen,attack,solve);//调用backtrack求解N皇后问题
    return solve;//返回结果数组solve
}
int main(){
    vector<vector<string>>result;
    result=solveNQueens(8);
    //打印出8皇后的解法
    cout<<"8皇后共有"<<result.size()<<"种解法："<<endl;
    for(int i=0;i<result.size();i++){
        cout<<"解法"<<i+1<<":"<<endl;
        for(int j=0;j<result[i].size();j++) cout<<result[i][j].c_str()<<endl;
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}