【公式编辑测试】两类斯特林数的对偶
upd 2021-02-15 刚才知乎冲浪来着，转载一篇文章
喜闻乐见的公式编辑测试环节，联系太多了，所以肯定写不完
联系下降幂，上升幂，幂
\[(x)^n=x(x+1)...(x+n-1) \\
(x)_n=x(x-1)...(x-n+1)
\]
\[\sum\limits_{k=1}^{n}S_1(n,k)x^k=(x)^n \\
\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}S_1(n,k)x^k=(x)_n \\
\sum\limits_{k=1}^{n}S_2(n,k)(x)_k=(x)_n=x^n
\]
递推关系对偶
\[S_1(n,k)=(n-1)\cdot S_1(n-1,k)+S_1(n-1,k-1)\quad\text{for }k>0 \\
S_1(0,0)=1 \\
S_1(n,0)=S_1(0,n)=0 \ \text{for }\ n\geq 1
\]
\[S_2(n,k)=k\cdot S_2(n-1,k)+S_2(n-1,k-1) \quad\text{for }0<k<n\\
S_2(n,n)=1 \quad \text{for } n\geq 0 \\
S_2(n,0)=S_2(0,n)=1 \quad \text{for } n> 0
\]
生成函数对偶
\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}S_2(n,k)\frac{x^n}{n!}=\frac{(e^x-1)^k}{k!}
\]
\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}S_1(n,k)\frac{x^n}{n!}=\frac{(ln(x+1))^k}{k!}
\]
矩阵
let
\[
A=(a_{ij})_{n\times n}=[\ (-1)^{i-j}S_1(i,j)\ ]_{n\times n}\\
B=(b_{ij})_{n\times n}=(S_2(i,j))_{n\times n}
\]
then
\[AB=BA=I
\]
注：这里需要对\(i<j\)的斯特林数做定义，具体的定义方式我这里找不到了
还有一些
让\(A(x),B(x)\)分别为\(\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\)和\(\{b_n\}_{n=0}^{\infty}\)的指数生成函数，以下三命题等价
\[\forall n\geq 0\ \ , b_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}S_2(n,i)a_i\\
\forall n\geq 0\ \ , a_n=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{n-i}S_1(n,i)b_i\\
B(x)=A(e^x-1) \quad \text{i.e.} \quad A(x)=B(\ \ln(1+x)\ )
\]
\[
\]
