特定条件下傅里叶变换的性质
note 2020-09-09 13:20搬运 下面的内容来自我的公众号：yhm同学
下面讨论的是对序列（这里讨论的一般是实序列）做变换\(\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-j\omega n}\)，
通常，要了解一个序列傅里叶变换的特性需要有关【幅度和相位】或者【实部和虚部】在$-\pi<\omega\leq \pi $所有频率范围内的全部知识。但是已经知道，在一定条件下，傅里叶变换会有一些特殊性质
| 条件 | 性质 |
|---|---|
| x[n]是实序列 | \(X(e^{j\omega})=X^{*}(e^{-j\omega})\) 看0到\(\pi\)的谱就行了 |
| 最小相位 (所有极点和零点都在单位圆外) | 幅度和相位相关联 |
| 有限长为N的序列 | N个等间隔处取样$ -- -决定>$ 整个 |
| 序列因果性 | 实部和虚部相关联；\(X_R(e^{j\omega})\)是序列的偶分量的变换；\(jX_I(e^{j\omega})\)是奇分量的变换 \(X(e^{j\omega})=X_R(e^{j\omega})+jX_I(e^{j\omega})\) |
这里偶分量，奇分量什么意思？
比如{1,2,3,4}(下标0开始)
奇分量就是{-2,-1.5,-1,0,1,1.5,2}（中间元素对应的下标是0）
偶分量就是{2,1.5,1,1,1,1.5,2} (中间元素对应的下标是0)
在离散时间信号和系统的数学表达式中用到的复函数一般都具有良好的特性。除了有少数例外，所关注的\(z\)变换均具有良好的定义域，在该定义域上幂级数是绝对收敛的。因为幂级数可表示其收敛域内的解析函数，所以可知，\(z\)变换是在其收敛域内的解析函数。根据解析函数的定义，这意味着在收敛域内的每一点上\(z\)变换的导数都有定义。另外，解析性意味着\(z\)变换及其所有的导数在收敛域内都是连续函数。
解析函数的性质表示对\(z\)变换在其收敛域内的特性有一些较强的限制。因为傅里叶变换是在单位圆上计算的\(z\)变换，所以这些限制也约束着傅里叶变换的特性。其中的2个限制是：CR条件和柯西积分定理(可以利用解析函数边界上的函数值表示解析域中每一处的复函数值)。根据这些解析函数的关系，可以在一定条件下推导出收敛域内的一个闭合围线上\(z\)变换的实部和虚部之间明显的积分关系(Possion公式或Hilbert关系)
下面是和主题无关的流水账
FIR滤波器的时间序列对称 那么，线性相位 分为4种：奇对称/偶对称；N为奇数/偶数
定义复倒谱:\(x[n]\)对应的复倒谱定义为一个稳定序列\(\hat{x}[n]\)满足$$\hat{X}(z)=log[X(z)]$$
复倒谱的最小相位和因果性并不是保证傅里叶变换的幅度和相位间唯一性关系的唯一限制条件。
| 条件 | 性质 | 证明 |
|---|---|---|
| 一个序列是有限长的并且它的\(z\)变换没有互为共轭倒数对的零点（即不存在有圆反演关系的一对零点） | 幅度和相位相关联 | Hayes,Lim and Oppenheim 1980 |
最小相位系统的对数谱的实部和虚部构成一对希尔伯特变换。由此，可以通过幅频特性推出最小相位系统的相频特性，反之亦然。
给定H(z)为稳定的因果系统，当且仅当H(z)为最小相位系统时，其逆系统才是稳定和因果的。
从最小相位系统的幅频响应，它具有下列性质:
- 一组具有相同幅频响应的因果，稳定的滤波器中，最小相位滤波器)对于零相位具有最小的相位偏移(绝对值上)。
- 不同的离散时间系统可能具有相同的幅频响应，如果h(n)为相同幅频的离散时间系统的单位抽样响应，单位抽样响应的的能量集中在n为较小值的范围内。一个因果稳定的，并且具有有理形式系统函数的系统一定可以分解成一连串全通系统和最小相位系统。
工程上常用这一性质来消除失真，但是缺点是它消除了幅度失真后却带来相移失真。
最小相位
因果、稳定的离散系统H(z)要求极点必须全部位于单位圆内，而对零点的位置没有要求，可以在圆内，也可以在圆上或是圆外。这样
如果该系统的零点全部在单位圆内，称该系统为最小相位系统。
如果该系统的零点全部在单位圆外，称该系统为最大相位系统。
如果圆内和圆外都有零点，称该系统为混合相位系统
左边是nyquist，右边是相频曲线；上面是最小相位，下面是非最小相位
资料来自网络,
整理:yhm
