控制论个人学习笔记-采样系统理论/计算机控制系统
采样系统理论/计算机控制系统
基本概念
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采样控制系统(即脉冲控制系统)-信号是脉冲序列形式
- 保持过程：把脉冲序列转变为连续信号的过程。保持器：实现保持的装置。
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数字控制系统(即计算机控制系统)-信号是数字序列形式
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离散系统的特点
数字控制系统的特点:具有控制精度高，控制速度块及性能价格比高等特点，很好的通用性
信号的采样与保持
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采样过程
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采样过程的数学描述
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Shannon采样定理
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信号保持
保持器的数学作用：解决各离散采样点之间的插值问题
零阶保持器的传函为$$G_h(s)=\frac{1-e^{Ts}}{s}$$ ，其中\(T\)是保持时间
零阶保持器是一种按常值外推的保持器，它把前一采样时刻\(nT\)的采样值一直保持到下一个采样时刻\((n+1)T\)到来之前。零阶采样器的采样信号是阶梯信号。取阶梯信号的中点连接起来，则可以得到与连续信号形状相同但时间滞后\(T/2\)的响应\(\bold{e}(t-T/2)\)。(当然是在\(T\)足够小的前提下)
离散系统的数学模型
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描写离散系统的数学形式——差分方程
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线性离散系统差分方程及其解法
- 经典法：求齐次方程的通解和非齐次方程的特解
- 迭代法：直接递推
- 生成函数法(z变换法)：先z变换，求出那个生成函数后，再反z变换
↓求脉冲传递函数(重点)↓
对一个连续函数做Z变换是什么意思？
我的理解是做代换 \(t=nT\),然后对那个离散序列做z变换。
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脉冲传递函数
\(G(z)=\mathscr{Z}[G(s)]\) （\(\mathscr{Z}\)是花体Z）
\(G(z)=Z[g^*(t)]=Z[g(t)]=Z[G^*(s)]=Z[G(s)]\)
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开环系统脉冲传递函数
串联环节之间有采样开关的情况：有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传函等于n个环节z变换的乘积。
串联环节之间没有采样开关的情况：没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲函数等于n个环节乘积后的z变换
理解的策略:采样开关分隔成为几段，段内直接\(G_1(s)G_2(s)...G_n(s)\),然后做Z变换，每段都是z的表达式，这些表达式再乘起来。
有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数：此时，开环系统脉冲传函为
\(G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})\mathscr{Z}[\frac{G_p(s)}{s}]\)
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闭环系统脉冲传递函数
求闭环系统脉冲传函，一般先设第一个采样开关两侧的信号为\(E(z)\),然后根据信号在前向通路及回路中的流动形式，列写出一系列方程，解得闭环系统脉冲传函。
↑求脉冲传递函数(重点)↑
离散系统的稳定性与稳态误差
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离散系统稳定的条件
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时域中离散系统稳定的充要条件
当且仅当描述离散系统的差分方程所有特征根的模\(|a_i|<1(i=1,2,...,n)\),稳定
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z域中离散系统稳定的充要条件
当且仅当所有特征根的模均小于1，稳定
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离散系统的稳定性判据
\(\omega\)变换与劳斯判据。如果用莫比乌斯变换\(z=\frac{\omega+1}{\omega-1}\)代入离散系统的闭环系统方程，并整理得到关于\(\omega\)的方程。于是可以利用劳斯判据判断离散系统的稳定性。
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离散系统的稳态误差
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终值定理法
即，数学上有，\(a_{ss}=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)A(z)\) 当然这要求序列a（和函数A的信息量一样）有较好的性质
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静态误差系数法
\(k_p=\lim\limits_{z\rightarrow1}G(z)\)
\(k_v=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)G(z)\)
\(k_a=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)^2G(z)\)
\(1(t)\) \(t\) \(\frac{1}{2}t^2\) 0型 \(\frac{1}{1+k_p}\) \(\infty\) \(\infty\) 1型 0 \(\frac{T}{k_v}\) \(\infty\) 2型 0 0 \(\frac{T^2}{k_a}\)
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离散系统的动态性能分析
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离散系统的时间响应
（利用幂级数展开法）先求出部分点值，这些点值拟合曲线，然后计算时域里的那些指标
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采样器和保持器对系统性能的影响
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闭环极点与动态响应的关系
离散系统的数字校正（拓展部分）
线性离散系统的设计方法分为模拟化设计和离散化设计两种。
1.模拟化设计是先把系统的数字部分等效为连续环节，然后按照连续系统理论设计校正装置，最后将校正装置数字化。
2.离散化设计法又称直接数字设计法，即把系统按离散化进行分析，求出系统的脉冲传函，然后按离散系统理论设计数字校正装置（又称数字控制器）
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最少拍系统设计
离散系统的数字校正问题即确定数字控制器\(D(z)\)。具体方法：由离散系统性能指标确定闭环脉冲传函或误差传函，然后确定数字控制器的脉冲传函，并加以实现。
最少拍系统：一个采样周期为一拍，最少拍系统是指在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。最少拍系统的设计是针对典型输入作用进行的。
最少拍系统的设计原则：若系统广义被控对象\(G(z)\)无延迟，且在z平面单位圆上以及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传函，使系统在典型输入作用下，经过最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传函\(D(z)\)。
在各种典型输入作用下，由最少拍系统的输出响应序列可得以下结论：
- 快速性：按单位斜坡输入设计的最少拍系统，在各种典型输入作用下，动态过程均为两拍。
- 准确性：单位阶跃和单位斜坡输入的最少拍系统的稳态误差均为0，但对单位加速度输入存在的稳态误差为\(T\)。
- 动态性：系统对单位斜坡输入的动态响应性能较好，对单位阶跃响应性能较差。
- 平稳性：均存在波纹，不实用。
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无波纹最少拍系统设计
无波纹最少拍系统的设计要求：在某种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在波纹。
无波纹输出要求在有限个采样周期后，零阶保持器的输出达到相对稳定。要满足这一要求，除了采用前面介绍的最小拍系统设计方法外，还需要对被控对象的传函和闭环脉冲传函提出相应的要求。
无波纹最少拍系统\(\Rightarrow\)被控对象传函\(G_p(s)\)中，至少应包含\((q-1)\)个积分环节。
无波纹最少拍系统的附加条件：\(\Phi(z)\)的零点应抵消\(G(z)\)的全部零点，即应有：\(\Phi(z)=P(z)M(z)\)，式中，\(M(z)\)为待定\(z^{-1}\)多项式。
