放弃更新，深度和广度上建议看THE q-SERIES IN COMBINATORICS; PERMUTATION STATISTICS (Preliminary version) August 17, 2004 Dominique Foata and Guo-Niu Han
引言
在组合计数中q-模拟有什么用？它是研究组合统计量如何分布的工具
维基词条 https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog
网上找到的课件 http://people.qc.cuny.edu/faculty/christopher.hanusa/courses/636fa12/Documents/636fa12ch92c.pdf
q-analog学习资源，推荐！！相当于q-模拟词条 https://www.math.upenn.edu/~peal/polynomials/q-analogues.htm
q-analog词条 https://www.symmetricfunctions.com/q-analogues.htm
定义
一个数\(c\)的q-模拟就是：一个表达式\(f(q)\)，满足\(lim_{q\to1}f(q)=c\)
常见的q-模拟往往是级数的形式，或者级数的四则运算（有时级数退化为多项式）
例子
正整数\(n\)
就是形式级数\(f(q)=1+q+q^2+..+q^{n-1}\)
满足\(lim_{q\to1}f(q)=n\)
记作\([n]_q\)
逆序对研究和q-factorial
\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} \cdots[1]_{q}=:[n]_{q} !
\]
\[lim_{q\to1}[n]_q!=|S_n|
\]
q-binomial
\[\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[k]_{q} ![n-k]_{q} !}
\]
\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)
\]
中心对称
\[\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}=
\left[\begin{array}{l}
\ \ \ n \\
n-k
\end{array}\right]_{q}
\]
q-binomial的Pascal恒等式是
\[\left[\begin{array}{l}
m \\
r
\end{array}\right]_{q}=q^{r}\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r
\end{array}\right]_{q}+\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r-1
\end{array}\right]_{q}
\]
和
\[\left[\begin{array}{c}
m \\
r
\end{array}\right]_{q}=\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r
\end{array}\right]_{q}+q^{m-r}\left[\begin{array}{c}
m-1 \\
r-1
\end{array}\right]_{q}
\]
q-multinomial
\[\left[\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[m_1]_{q} ![m_2]_{q} !...[m_k]_{q} !}
\]
\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right)
\]
q-exponential
\[e_{q}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q} !}
\]
q-模拟的一些性质
下面的等式当\(q\to 1\)时都变成著名的组合恒等式
q-二项式定理
\[\sum_{k=0}^{n} q^{\tbinom{k }{2}}\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]_{q}x^{k}=\prod_{i=0}^{n-1}\left(1+x q^{i}\right)
\]
q-Vandermorde定理
\[\left[\begin{array}{c}
m+n \\
k
\end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{k} q^{(m-i)(k-i)}\left[\begin{array}{c}
m \\
i
\end{array}\right]_q\left[\begin{array}{c}
n \\
k-i
\end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N}
\]
q-朱世杰恒等式
\[\left[\begin{array}{c}
m+n+1 \\
n+1
\end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{m} q^{i}\left[\begin{array}{c}
n+i \\
n
\end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N}
\]
例题
n-排列中的inversion和major index
\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} !
\]
q-binomial应用
有很多，但是看起来都差不多，比如
这里是说把r个不可区分的球投进m个不可区分的垃圾箱里，每个垃圾箱最多容纳n个，(有的垃圾箱可以为空，每个球都在某一个垃圾桶中)。问你方案数。
一种理解是把这个当成有限制的分拆partition：summmands个数最多是m，summands大小最大是n。
还可以计数：
Let V is an n-dimensional vector space over the finite field of q elements.
QBinomial[n,k,q] is the number of k-dimensional subspaces of V
也可以描述分布：
\[\left[\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right]=\sum_{S_{\subseteq M,|S|=k}} q^{\operatorname{inv}(w(S))}=\sum_{S \subseteq M,|S|=k} q^{\operatorname{maj}(w(S))}
\]
其中的定义都可以在这个pdf的14~15页找到。
q-multinomial
记\(M_\alpha\)是【多重集\(\{m_1个1，m_2个2，...,m_k个k\}\)构成的全排列】组成的集合
\[\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\sum_{\pi \in M_{\alpha}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=\left[\begin{array}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\
m_1,m_2,...,m_k
\end{array}\right]_{q}
\]
Catalan数
记\(W_n\)是那些长度为\(2n\)的01卡特兰序列(从左往右遇到的0总比1多，注意！！这里不要弄反了不然下面等式等不了)的集合
\[\sum_{\pi \in W_{n}} q^{\mathrm{maj}(\pi)}=\frac{1}{[n+1]_q}
\left[\begin{array}{c}
2n \\
n
\end{array}\right]_q
\]
举例，n=2, 0011,0101 maj分别是0，2
\[q^0+q^2=\frac{1}{1+q+q^2}\cdot
\frac{\left(1-q^{4}\right)\left(1-q^{3}\right)}{(1-q)\left(1-q^{2}\right)}
=\frac{1}{1+q+q^2}\cdot
\left(1+q^{2}\right)\left(1+q+q^{2}\right)
=1+q^2
\]
降位数
定义一个排列\(\sigma\)的降位个数\(des(\sigma)=:\sum\limits_{\sigma_i>\sigma_{i+1}}1\)
长度为\(n\)降位个数为\(k-1\)的排列构成的集合为\(A_{n,k}\) 大小 \(a_{n,k}=:|A_{n,k}|\)
Eulerian多项式定义
\[E_n(q)=\sum_{\pi \in S_{n}} q^{1+\mathrm{des}(\pi)}=\sum_{k=1}^{n}{a_{n,k}q^k}
\]
举例，n=3 123,132,213,231,312,321 降位数分别是0，1，1，1，1，2
\[E_3(q)=q^1+4q^2+q^3
\]
