行列式的几何直观
note 2020-07-26搬运 应该是2018年写的，很大一部分就是摘抄课本，语言稚嫩且缺少条理，格式七拼八凑不够正式
摘要
由平行四边形面积、平行六面体体积、行列式之间的简单联系谈及盒维数、微分是线性映射、度规系数、重积分变量代换定理。夹杂一些几何直观。
引言
在笛卡尔坐标系下，由矢量代数或其他什么方法容易得出：以向量\((a,b)\), \((c, d)\)为邻边的平行四边形面积为\(|a d-b c|\)；以向量\((a ,b ,c)\),\((d ,e ,f )\) ,\((g ,h , i )\)为平行六面体某顶点相交的三条棱，则平行六面体体积是\(\text{Abs}\left [\left|\begin{matrix}a\ b\ c\\ d\ e\ f \\ g\ h\ i \end{matrix} \right|\right]\).形式上就像相应的2阶行列式、3阶行列式再套上绝对值.(对有向面积、体积求绝对值)
对这一联系的本原的简单探索引导我写下此文.
正文
我们知道数学概念不是凭空定义出来的，行列式的定义也必有其道理所在.
从一个与行列式关系密切的定理出发：
在线性代数中我们有定理：对可逆线性变换\(\bold{A}\)，有体积关系：
这里\(\mu\)是若尔当体积（即用不断细小的“网格”测出来收敛的“体积”）（感兴趣还可以移步若尔当维度、盒维数）
举个例子：
在笛卡尔坐标系下，由单位基矢\(\hat{i},\hat{j},\hat{k}\) “围成”的立体体积是1；对点\((1,0,0)^{\mathsf{T}}\)，\((0,1,0)^{\mathsf{T}}\)，\((0,0,1)^{\mathsf{T}}\)做\(A\)对应的线性变换(左乘A对应的3*3矩阵)，得到对应的，\(\bold{x1}=(a_{11},a_{12},a_{13})^{\mathsf{T}}\), \(\bold{x2}=(a_{21},a_{22},a_{23})^{\mathsf{T}}\), \(\bold{x3}=(a_{31},a_{32},a_{33})^{\mathsf{T}}\). 而\(O\)经过变换仍停留在\(O\)；应用介绍里的公式：向量\(Ox_1,Ox_2,Ox_3\)围成的立体体积为 \(|a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})| =| \operatorname{det}(A)|.\)
结合线性变换的线性性质（几何直观上体现为翻转、旋转、剪切、伸缩等），我们似乎有（猜测），相应的\(n\)维空间有向体积的伸缩因子正是行列式，对原像区域上不同的地方（小块）的伸缩因子都等同。（这也可以从几何直观上来看）事实上这也就是正文开始提到的定理.
更长远地，
我们知道：\(\fbox{微分是线性映射}\)
对于一个函数f：\(R^N→R\)
其弗雷歇微分（一种微分符号而已）被称为一个线性映射：
\(\mathrm{d} f(x):R^N→R\)
它对每一个\(\vec{h}\in R^N\)分配了一个实数\(\mathrm{d} f(x)\vec{h}\),并对所有\(\alpha,\beta\in R\)和所有\(\vec{h},\vec{k}\in R^N\)满足线性条件
\(\mathrm{d} f(x)(\alpha\vec{h}+\beta\vec{k})=\alpha \mathrm{d} f(x)\vec{h}+\beta \mathrm{d} f(x)\vec{k}\) [1]
由以上思想可知，一个映射\(\Phi\) 的作用在一点\(x_0\)邻域范围内可以近似看做是一个局部线性映射\(L(x)=\Phi(x_0)+\Phi^{'}(x)(x-x_0)\).
稍微精确一些描述，取定小立方体\(C\) 的中心点\(x_0\)，那么当\(C\) 充分小时，线性变换\(L(x)=\Phi(x_0)+\Phi^{'}(x)(x-x_0)\)与变换\(\Phi(x)\)相差高阶无穷小量。也就说处理问题时，\(\Phi(x) \underline{局部上可由线性变换近似代替，微分的精华思想也在于此。}\)
如下图所示，直观上，当网格取得足够小时，网格的“扭曲”程度就不那么严重，就可以看做十分小的局域的线性映射。
(图片来自[2])
事实上，我们有重积分代换定理：
设\(\Omega\sub R_m\)是一个开集，\(\Phi：\Omega\rightarrow R_m\)是一个连续可微映射，\(E\sub\Omega\)是一个闭若尔当可测集。如果
(1)雅可比行列式\(det\ D(\Phi)\neq0,\forall t\in \text{int}\ E\)
(2)\(\Phi\)在\(\text{int}\ E\)中是单射
那么\(\Phi(E)\)也是一个闭若尔当可测集，并且对于任何\(\Phi(E)\)上连续的函数\(f(x)\)都有
\(\int_{\Phi(x)}f(x)dx=\int_Ef(\Phi(t))|det(D(\Phi(t)))|dt\)
其中\(D(\Phi(t))\)表示雅可比矩阵，例如二维的例子：\((x,y)\)映射到\((u,v)\)，\(\left(\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x}\ \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\ \frac{\partial v}{\partial y}\end{matrix} \right)\)
定理的严格证明已经超出了笔者的能力范围，但是证明过程中闪现出的灵感火花，在思维疆域的驰骋让人神往。（感兴趣可以移步数分教材或[2:1]）
相关联的是矢量理论中三维空间不同正交曲线坐标系下的“体积”变换：
在这样的坐标系下，部分坐标可能是角度，由角度的变换量求得长度的变换量需要引入度规系数(或称尺度因子)\(h\):
\(\bold{r_P}\)是位置矢量，\(v_i\)是正交曲线坐标系下的相应坐标
平凡地，\((v_1,v_2,v_3)=(x,y,z),(h_1,h_2,h_3)=(1,1,1)\)
(图片来自[3])
\(|J|=h_1h_2h_3\)
参考
感谢 David Clay《线性代数及其应用》 ,机械工业出版社 在思想上的启发。
除了指明的，其余图片来自网络。
