自动微分（AD）学习笔记

1.自动微分（AD）

作者：李济深
链接：https://www.zhihu.com/question/48356514/answer/125175491
来源：知乎
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　　开源里面比较干净的Forward Mode实现应该是ceres-solver里的的Jet[1]了。文件注释里解释得很详细。Reverse Mode比较成熟的实现是Stan[3]的。Adept[2]的实现思路有点意思，速度上跟Stan差不多（Stan在对节点函数上做了更多优化的工作），但是似乎缺乏实际产品的检验，稳定性可能不如Stan。Adept 2.0 版本自己实现了Array，原因大抵是作者想写出自己的风格…向不成熟的方向又迈进了一步。

AD在优化问题里面是一个非常方便的工具。但是不要忘了最简单的 df = (f(x+h) - f(x-h)) / 2h 这样简单而高效的形式，结合两者在某些优化问题里会有更好的效果。

Ceres中提供了三种求导方式：

　　解析法求导
　　数值法求导
　　自动微分法（AD）求导

[1]: ceres-solver/jet.h at master · kashif/ceres-solver · GitHub
[2]: Adept: Fast Automatic Differentiation using Expression Templates
[3]: GitHub - stan-dev/math: Stan Math Library

[4]: https://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation

[5]: http://www.ceres-solver.org/tutorial.html

2.数值微分：

https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation

求解非线性最小二乘法 Eigen https://blog.csdn.net/z444_579/article/details/52228602

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a29eae2b0102whjp.html

Eigen中Levenberg-Marquardt算法的应用 https://blog.csdn.net/u012541187/article/details/53220280

https://stackoverflow.com/questions/18509228/how-to-use-the-eigen-unsupported-levenberg-marquardt-implementation

https://scicomp.stackexchange.com/questions/16237/eigen-unsupported-levenberg-marquardt-algorithm

Eigen3中的数值微分法：

　　在Eigen3中，数值微分法也是继承自自定义的Functor数据结构的，写法大概是如下这样。

　　这样自定义的my_functor中就只定义了 operator() 函数，虽然没有定义 df() 函数，但是NumericalDiff数据结构是定义了 df() 函数的。

my_functor functor;
Eigen::NumericalDiff<my_functor> numDiff(functor);
Eigen::LevenbergMarquardt<Eigen::NumericalDiff<my_functor>, double> lm(numDiff);

　　当然可以完全自己定义一个结构体，自己实现df函数求偏导，和operator()函数求函数值。