【算法专题】排序详解

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各种排序

快速排序、归并排序、桶排序、堆排序

1、快速排序（quick_sort）

时间复杂度： $O(nlogn)$

// 快速排序模版
void quick_sort(int q[], int l, int r) // 数组 ， 左端点，  右端点
{
  if (l >= r) return;

   // “ >> ” : 右移运算符，相当于 除以2
  int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;

  while (i < j)
  {
    while (q[++i] < x);
    while (q[--j] > x);
    if (i < j) swap(q[i], q[j]);
  }

  quick_sort(q, l, j);    // 排序左侧
  quick_sort(q, j + 1, r);// 排序右侧
}

2、归并排序（merge_sort）

时间复杂度： $O(nlogn)$

// 注意：归并排序需要一个辅助数组 tem
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
  if (l >= r)
    return;

  int mid = l + r >> 1;

  merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r); // 先分，回来时就排好序了

  int k = 0, i = l, j = mid + 1;

  while (i <= mid && j <= r)
  {
    if (q[i] <= q[j])
      tem[k++] = q[i++];
    else
      tem[k++] = q[j++];   
  }
  while (i <= mid) tem[k++] = q[i++];
  while (j <= r) tem[k++] = q[j++];

  for (int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++)
    q[i] = tem[j];
}

题目链接：
车厢重组 - 洛谷

逆序对 - 洛谷

3、桶排序（bucket_sort）

时间复杂度： $O(n)$ 注意：如果数据的值域超过了1e8就内存会溢出了

const int MAX_NUM = 1e8;
int sum[MAX_NUM]; // 值域

void bucket_sort(int q[])
{
  for (int i = 0; i < n; i++)
    sum[q[i]]++;
  for (int i = 0, j = 0; j < n; i++)
  {
    while (sum[i]--)
      q[j++] = i;
  }
}

4、堆排序

时间复杂度： $O(nlogn)$

注：底层基于完全二叉树实现，分为大根堆、小根堆

堆排序是在输入数据的时候就排好序了！！！

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
int h[N], sz;
int n, m;

// down
void down(int u)
{
    int t = u;
    if(u * 2 <= sz && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if(u * 2 + 1 <= sz && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if(t != u) 
    {
        swap(h[t],h[u]);
        down(t);
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m; // m 是要输出排序后的数组的前多少个
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
    sz = n;

    // 建堆(排好序了)
    for(int i = n / 2; i; i--) down(i); 
    // 为什么从 n / 2 开始，因为 n/2所在的点是 最后一个有孩子的节点。
    while(m --)
    {
        cout << h[1] << " ";
        h[1] = h[sz--];
        down(1);
    }

    return 0;
}

5、库函数sort，在头文件 algorithm 中

时间复杂度： $O(nlogn)$ 函数原型： sort(start, end, cmp);

#include<algorithm>
注意： cmp是比较器，是可选参数，可以自己用来定义比较类型（当然也有官方提供的）

bool cmp(...){...}

// 比如要对数组a自定义排序 , 传数组的地址（起始地址，终止地址，比较器）
sort(a, a + n, cmp);
// 或者是vector容器排序， 传容器的迭代器（起始迭代器，终止迭代器，比较器）
sort(a.begin(), a.end(), cmp)

// 如果不加cmp，默认只能给 基础类型 按 升序排列
sort(a, a + n);


// 官方提供的比较器 greater<int>() => 从大到小排序
sort(a, a + n, greater<int>()); // greater<int>()谓词, 二元谓词，后面讲

// cmp比较函数中的参数：
// 1、基本数据类型
bool cmp(int a, int b) 
{
     return a > b; // 作用就是从大到小排列 
}
// 2、结构体类型
// 2.1 比如按照学生的成绩降序排序
struct Student
{
    string name;
    int score;
};

// 加 引用符号 的作用：防止传递参数的时候再复制一份占用内存
bool cmp(Student &s1, Student &s2) 
{
    return s1.score > s2.score;
}
// 2.2 多条件排序，再加个学号，如果学生成绩相同的话，学号靠前的先输出
struct Student
{
    int id;
    string name;
    int score;
};

bool cmp(Student &s1, Student &s2)
{
    if(s1.score != s2.score)   // 先判断不同，再判断相同
        return s1.score > s2.score; // 大于：降序排列
    return s1.id < s2.id; // 小于 ： 升序排列
}


// 返回值的理解：
1. 比如待排序的序列为 ：4 5 3 1 2 降序排列
   第一次调用cmp ： 传递的参数，a: 5, b: 4 !注意：是先交换再传值进来 
    // 如果满足关系 就这样
2. 序列变为 ： 5 4 3 1 2
   第二次调用cmp ： 传递的参数， a：3, b: 4 
    // 不满足，换回来
3. 序列保持原样： 5 4 3 1 2
   第三次调用 ： a: 2, b: 1 
    // 满足， 就这样了
4. 序列变为 ： 5 4 3 2 1 
   调用结束，排好序了。

参考博客：C++ Sort函数详解

题目链接：[NOIP1998 提高组] 拼数 - 洛谷

6、STL模版（priority_queue）

priority_queue<int>: 优先队列，可以叫做堆，默认为 大根堆

要实现小根堆的话： priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;

// 1、引入头文件
#include <queue>

// 2.1、定义一个堆（优先队列）
priority_queue<int> heap; // 默认大根堆的存储int类型的优先队列

// 2.2、定义一个小根堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap; // 小根堆的定义

// 3、堆方法
heap.push(1); // 插入
heap.top(); // 取最大（最小）值
heap.pop(); // 删除最大（最小）值
heap.empty(); // 判断是否为空
heap.size(); // 获取队列长度

参考博客：C++ 优先队列 priority_queue 使用篇_爱喝酸奶！的博客-CSDN博客

重载运算符排序

重载operator

operator ：是c++的关键字，用于重新定义运算符的含义

比较常见重载的运算符：'<' '>' '+' '-' '*' '()'

//  比如对结构体排序
struct Student
{
    int id;
    string name;
    int score;

    bool operator < (const Student &s) const
    {
        if(s.score != score)
            return score > s.score
        return id < s.id;
    }
}


sort(a, a + n) // 这样就重载了sort函数的默认排序规则（'<'），它知道怎么排序了

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 10;

struct Student
{
  int id;
  string name;
  int score;

  bool operator<(const Student &s) const
  {
    if (s.score != score)
      return score > s.score;
    return id < s.id;
  }
} s[N];

int n;

bool cmp(Student &s1, Student &s2)
{
  if (s1.score != s2.score)
    return s1.score > s2.score;
  return s1.id < s2.id;
}

int main()
{
  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n; i++)
  {
    cin >> s[i].name >> s[i].score;
    s[i].id = i + 1;
  }

  sort(s, s + n);

  // sort(s, s + n, cmp);

  for (int i = 0; i < n; i++)
  {
    cout << s[i].id << " " << s[i].name << " " << s[i].score << endl;
  }
  return 0;
}

参考博客：C++ operator重载运算符详解_Janus_V的博客-CSDN博客

谓词(使用谓词，要先了解C++的class类)

一元谓词和二元谓词

谓词：返回值为bool类型的仿函数（类似函数，不是函数，因为重载了小括号）

一元谓词，每个元素和一个条件比较

二元谓词，两个元素相比较，常用于排序

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

class GreaterFive
{
public:
  bool operator()(int v) // 一元谓词，只有一个参数
  {
    return v > 5;
  }
};

class Mycmp
{
public:
  bool operator()(int x, int y) // 二元谓词，有两个参数
  {
    return x > y;
  }
};

int n;
vector<int> v;

void print()
{
  for (vector<int>::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++)
  {
    cout << *it << " ";
  }
  cout << endl;
}

void test1()
{
  //  查找大于5的数字
  vector<int>::iterator it = find_if(v.begin(), v.end(), GreaterFive());
  if (it != v.end())
    cout << "Yes: " << *it << endl;
  else
    cout << "No find" << endl;
}
void test2()
{
  print();

  sort(v.begin(), v.end(), Mycmp()); // 降序

  print();
}

int main()
{
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    v.push_back(i);
  }

  test1();
  // test2();

  return 0;
}

小tips：使用auto关键字自动推导类型(在C++11之后的版本才可以使用)

// 比如有函数的返回值是个迭代器
vector<int>::iterator it = v.begin();
// 我们可以简写前面一长串为：auto
auto it = v.begin();
// 简化代码量

// 还可以在范围for循环中使用，自动推导类型
for(auto u : v)
{

}

参考博客：C++：关键字auto详解，范围for讲解