P7230 题解
思路
对每个左端点维护右端点 \(res_i\)。操作形如删去一个数再加入一个数。如果删掉 \(p\) 上的 \(a_p\)，找到左右最近的 \(l,r\) 使得 \(a_l=a_r=a_p\)。那么 \(res_{l+1},\dotsb,res_p\) 对 \(r\) 取 max。实际上要维护 \(\max res_i-i+1\)，因为 \(res_i\) 单调，所以相当于线段树上二分找到最左的小于 \(r\) 的位置然后区间覆盖。
删除好做，加入难做，考虑线段树分治。先把所有的时刻的 \(a_i\) 都当作存在，右移右端点维护出所有 \(res_i\)。multiset 维护每个值出现的位置来求 \(l,r\)。进入一个区间后进行删除操作。撤销操作可以用主席树，也可以记录下所有修改和下传的位置和值。
code
int n,m,q,a[maxn];
multiset<int> s[maxn];
int que[maxn],res[maxn],cnt[maxn];
vector<int> val[maxn];
int st[maxn<<6][4],tp;
#define mid (l+r>>1)
#define ls nd<<1
#define rs nd<<1|1
namespace sgt{
int mx[maxn<<2],tag[maxn<<2],ans[maxn<<2];
void build(int nd,int l,int r){
if(l==r){
mx[nd]=res[l];ans[nd]=mx[nd]-l+1;
return ;
}
build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
mx[nd]=max(mx[ls],mx[rs]),ans[nd]=min(ans[ls],ans[rs]);
}
void down(int nd,int l,int r){
st[++tp][0]=nd,st[tp][1]=mx[nd],st[tp][2]=tag[nd],st[tp][3]=ans[nd];
st[++tp][0]=ls,st[tp][1]=mx[ls],st[tp][2]=tag[ls],st[tp][3]=ans[ls];
mx[ls]=tag[nd],tag[ls]=tag[nd],ans[ls]=mx[ls]-mid+1;
st[++tp][0]=rs,st[tp][1]=mx[rs],st[tp][2]=tag[rs],st[tp][3]=ans[rs];
mx[rs]=tag[nd],tag[rs]=tag[nd],ans[rs]=mx[rs]-r+1;
tag[nd]=0;
}
void updata(int nd,int l,int r,int ql,int qr,int w){
if(ql>qr)return ;
if(l>=ql&&r<=qr){
st[++tp][0]=nd,st[tp][1]=mx[nd],st[tp][2]=tag[nd],st[tp][3]=ans[nd];
mx[nd]=w,tag[nd]=w,ans[nd]=mx[nd]-r+1;
return ;
}
if(tag[nd])down(nd,l,r);
if(ql<=mid)updata(ls,l,mid,ql,qr,w);
if(qr>mid)updata(rs,mid+1,r,ql,qr,w);
st[++tp][0]=nd,st[tp][1]=mx[nd],st[tp][2]=tag[nd],st[tp][3]=ans[nd];
mx[nd]=max(mx[ls],mx[rs]),ans[nd]=min(ans[ls],ans[rs]);
}
int fd(int nd,int l,int r,int w){
if(mx[nd]<w)return -1;
if(l==r)return l;
if(tag[nd])down(nd,l,r);
int val=fd(ls,l,mid,w);
if(val==-1)return fd(rs,mid+1,r,w);
return val;
}
}
vector<pii> tree[maxn<<2];
void updata(int nd,int l,int r,int ql,int qr,pii w){
if(ql>qr)return ;
if(l>=ql&&r<=qr){
tree[nd].pb(w);
return ;
}
if(ql<=mid)updata(ls,l,mid,ql,qr,w);
if(qr>mid)updata(rs,mid+1,r,ql,qr,w);
}
void add(pii p){
int l=*--s[p.se].find(p.fi);
auto it=s[p.se].erase(s[p.se].find(p.fi));
if(it==s[p.se].end()){
sgt::updata(1,1,n,l+1,n,inf);
return ;
}
int r=*it;
int pos=sgt::fd(1,1,n,r);
if(pos>l+1)sgt::updata(1,1,n,l+1,pos-1,r);
}
void del(){
int nd=st[tp][0];
sgt::mx[nd]=st[tp][1],sgt::tag[nd]=st[tp][2],sgt::ans[nd]=st[tp][3];
tp--;
}
void dfs(int nd,int l,int r){
int tmp=tp;
for(pii p:tree[nd])add(p);
if(l==r){
if(que[l])printf("%lld\n",sgt::ans[1]>n?-1:sgt::ans[1]);
}
else{
dfs(ls,l,mid),dfs(rs,mid+1,r);
}
while(tp>tmp)del();
for(pii p:tree[nd])s[p.se].insert(p.fi);
}
void work(){
n=read();m=read();q=read();
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),s[a[i]].insert(i),val[i].pb(a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)s[i].insert(0);
for(int i=1;i<=q;i++){
int op=read();
if(op==1){
int p=read(),v=read();
updata(1,1,q,i,q,{p,a[p]});
a[p]=v;s[a[p]].insert(p);val[p].pb(a[p]);
updata(1,1,q,1,i-1,{p,a[p]});
}
else que[i]=1;
}
for(int i=1,j=1,num=0;i<=n;i++){
while(j<=n&&num<m){
for(int k:val[j]){
if(!cnt[k])++num;
cnt[k]++;
}
j++;
}
if(num<m)res[i]=inf;
else res[i]=j-1;
for(int k:val[i]){
cnt[k]--;
if(!cnt[k])--num;
}
}
sgt::build(1,1,n);
dfs(1,1,q);
}
upd
当线段树分治到叶子是也最多只有 \(O(n)\) 个操作，所以栈的大小是 \(O(n\log n)\) 的。如果用主席树，整个线段树分治下来有 \(O(n\log n)\) 个操作，主席树空间 \(O(n\log^2 n)\) 寄了。可以回收节点，线段树分治撤销操作时不只跳到父亲版本，而是直接把当前版本新的点都删了，这样一来直接等价于对每层维护一个线段树了。
