2024.9 做题记录
https://www.cnblogs.com/yhddd/p/18393591
9.1
arc108e
当已经选了 \(a_l,a_r\) 时，\((l,r)\) 与外面无关。区间 dp，\(dp_{l,r}=\frac{\sum_{k=l,a_l<a_k<a_r}^r dp_{l,k}+dp_{k,r}}{num_{l,r}}+1\)。维护 \(num_{l,r},\sum dp_{l,k},\sum dp_{k,r}\) 转移。
9.2
P5188
模拟赛 T2。
容斥强行不选 \(s\) 这些材料，矩阵快速幂。
CF1949H
模拟赛 T3。
按对角线向后推，计算经过次数。不能经过 \(3\) 次。经过次数形如 \(0,\dotsb,0,1,2,\dotsb,2,1,0,\dotsb,0\) 或 \(0,\dotsb,0,2,2,0,\dotsb,0\)。维护两个 \(1\) 的位置 \(l,r\) 或是不是状态 2。如果 \(0,\dotsb,0,1,2,1,0,\dotsb,0\) 的 \(2\) 被禁止，去到状态 2，否则如果有 \(2\) 的位置被禁止则无解。如果 \(l,r\) 有被禁止，每次 \(2\) 的区间 \((l,r)\) 会增加 \(1\)，否则 \((l,r)\) 会缩短 \(1\)，\(2\times n\) 个对角线后结束。
P10998
按 \(d_u<d_v<d_w\) 排序，对于每个 \(u\) 对 \((v,w)\) 进行三元组计数。
\(m\) 条边的三元组计数 \(O(m^{1.5})\)。如果 \(d_u\le m^{\frac{2}{3}}\)，有 \(\sum d_u=m\)，复杂度 \(O(m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{2}{3}})^{1.5})=O(m^{\frac{4}{3}})\)。否则 \(u,v,w\) 至多 \(m^{\frac{1}{3}}\) 个，复杂度 \(O(m^{\frac{1}{3}}((m^{\frac{1}{3}})^2)^{1.5})=O(m^{\frac{4}{3}})\)。
P4843
有源汇上下界最小流，建超级源汇点补齐流量，跑最大流，从汇点向源点连容量 \(+\infty\)，再跑最大流。答案为汇点到源点的流量。
P4043
最小费用可行流，建超级源汇点补齐流量，费用加上下界流量乘代价，从汇点向源点连容量 \(+\infty\) 代价 \(0\) 的边。费用加上超级源汇点的最小费用最大流。
CF1288F
将边 \((u,v)\) 拆为 \((u,v,1,r)\) 和 \((v,u,1,b)\)，分别表示红边或蓝边，都不流就不染色。左边的红点的右边的蓝点流出大于流入，连 \((s,i,1,+\infty,0)\)，反之连 \((i,t,1,+\infty,0)\)。最小费用可行流。如果超级源点出边满流则合法。
9.3
P9338
要求前缀和时刻大于零。设 \(c_i\) 为第 \(i\) 个 A 前有多少个 B，\(w(l,r)=\sum_{i=l}^r max(c_i-l+1,0)\)，外层 wqs 二分。拆开 max，预处理 \(*p_i\) 为最小的位置使得 \(c_{p_i}−i>0\)，内层 \(dp_i=\min dp_j+sum_j-sum_{p_j-1}-j\times(i-p_j+1)\)，斜率优化。
CF2006E
等价于度数 \(\le 2\) 的点到其余点的距离最大值。动态维护直径，每次中心偏移 \(1\)，dfn 序上子树加，全局 min。度数 \(=3\) 就不贡献，度数 \(>3\) 无解。
Q9123
升序排序，二分答案 \(x\)。对于每个 \(i\) 可以 \(O(n)\) 计算 \((i,j,k)\) 的答案。设阈值 \(B\)，前 \(B\) 个的贡献 \(O(nB)\) 计算。如果没超过 \(k\)，\(B\) 的 \((B,j,k)\) 贡献 \(\le \frac{k}{B}\)。后边只需要前 \(\frac{k}{B}\) 小的 \((j,k)\) 对，\(O(\frac{k}{B}\log n)\) 预处理加 \(O(n+\frac{k}{B})\) 计算。\(B\) 取 \(\sqrt{\frac{k}{B}}\)。
Q5095
模拟赛 T3。
最优策略决策为从下往上每个人删掉存在的最劣的数。\(O(n^3)\) 模拟，开始点下移时每个人的决策点单调，复杂度 \(O(n^2)\)。
9.4
模拟赛 T4
按值从小往大 dp，枚举笛卡尔树子树内哪个位置不被确定。保证数据随机，笛卡尔树深度 \(O(n\log n)\)，只用以 \(2\) 为底的幂，\(O(\sqrt(V))\) 预处理 \(O(1)\) 查询。
P9850
容斥，设 \(f_i\) 为至少 \(i\) 条红边的方案，蓝色四元完全子图的数量为 \(f_0-f_1+f_2−f_3+f_4−f_5+f_6\)，红色四元完全子图的数量为\(f_6\)。分类讨论，三/四元环计数。
P7386
将一个 \(1\) 和 \(0\) 捆绑起来。设有 \(n\) 个 \(01\) 和 \(m\) 个 \(0\)。最后一层 \(1\) 的贡献为 \(\binom{n+m-1}{n-1}\)。对于一个 \(0\)，枚举上面有 \(i\) 个 \(10\) 和 \(j\) 个 \(0\)，有 \(\binom{i+j}{i}\) 种可能，即有 \(\binom{i+j}{i}\) 个这样的 \(0\)。\(10\) 同理，算作一个大小为 \(2\) 的点。要求形如 \(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m \binom{i+j}{i}\)。有 \(\sum_{i=0}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1}\)。所以 \(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^m \binom{i+j}{i}=\binom{n+m+2}{n+1}-1\)。lucas 定理计算。
9.5
gym102428J
模拟赛 T3
初始在 \(x\)，先向左走，令 \(vl=\max_{i=1}^{x-1}a_i,vr=\max_{i=x+1}^n a_i\)，若 \(vl<v\)，答案为 \([x+1,n]\) 中第一个 \(>vl\) 的位置；否则为 \([1,x-1]\) 中最后一个 \(>\max(a_i,vr)\) 的位置。线段树上二分。
Q7899
模拟赛 T4。
分治。记 \(vl_i=\max_{j=i}^{mid}a_j,vr_i=\max_{j=mid+1}^i a_j\)，\([i,j]\) 合法等价于 \(\max(vl_i,vr_j)\le j-i+1\)，即 \(j\ge i+vl_i+1,i\le j-r_j+1\)，按 \(i+vl_i-1\) 排序，树状数组维护 \(j\)。正反做一遍得到划分 \([1,i]\) 的答案 \(f_i\) 和划分 \([i,n]\) 的答案 \(g_i\)。
分治维护修改的变化量。当某个 \(a_i\) 改为 \(1\) 时，对于分治区间 \([l,r],l\le i\le mid\) ，当 \(vl_i>vl_{i+1}\) 是，区间 \([ll,i]\) 的 \(vl\) 值发生变化，合法的 \(j\) 发生变化，重新计算 \(\sum g'_{j+1}\)，和原先应当贡献的 \(\sum g_{j+1}\) 做差。·
9.6
arc165f
模拟赛 T4。
如果 \(l_x<l_y,r_x<r_y\) 则 \(x\) 在 \(y\) 前，跑字典序最小的拓扑序。主席树优化建图，优先拓扑主席树点，优先队列拓扑。
9.9
P7230
模拟赛 T4。
对每个左端点维护右端点 \(res_i\)。操作形如删去一个数再加入一个数。如果删掉 \(p\) 上的 \(a_p\)，找到左右最近的 \(l,r\) 使得 \(a_l=a_r=a_p\)。那么 \(res_{l+1},\dotsb,res_p\) 对 \(r\) 取 max。实际上要维护 \(\max res_i-i+1\)，因为 \(res_i\) 单调，所以相当于线段树上二分找到最左的小于 \(r\) 的位置然后区间覆盖。
删除好做，加入难做，考虑线段树分治。先把所有的时刻的 \(a_i\) 都当作存在，右移右端点维护出所有 \(res_i\)。 multiset 维护每个值出现的位置来求 \(l,r\)。进入一个区间后进行删除操作。撤销操作记录下所有修改和下传的位置和值。
P4617
\(u\) 先手胜当且仅当 \(u\) 一定在最大匹配上。找出一个最大流， \(u\) 一定在最大匹配上当且仅当 \(u\) 被选且残量网络缩点后 \(u\) 和 \(s\) 不在同一强连通分量。
9.10
模拟赛 T2
去掉头尾相等的。枚举回文中心 \(i\)，取最长回文串 \(s[l,r]\)，求最大 \(j\) 使得 \(s[1,j]=s'[r+1,r+j]\)。等价于反串和自己匹配，kmp。翻转再做一遍。
CF1149D
模拟赛 T3。
令 \(a<b\)，\(a\) 边构成若干连通块，合法 \(b\) 边跨过两个连通块。不能走 \(b\) 边离开一个连通块再走 \(b\) 边返回，\(3a>2b\)，只有 \(siz>3\) 的连通块有用，状压，最短路， \(2^{\frac{n}{4}}m\log {2^{\frac{n}{4}}m}\)。
9.11
P6684
模拟赛 T4。
等价对于每个 \(r\) 求最小的 \(l\) 使得 \([1,l]\) 和 \([r,m]\) 的边能组成奇环。将边复制一遍接在后面，即对于每个 \(i\) 求最小的 \(p\) 使得 \([i,p]\) 间的边组成奇环。\(p\) 有单调性。依次求每个 \(i\)，每次右移 \(p\)，加入的这条边 \(p\) 会在求 \([i,p]\) 时都有贡献。插入容易删除困难，用线段树分治。初始没有边，分治到 \(i\) 时会对之后一个区间加入若干条边，一共加边 \(m\) 次。
P7307
答案为最大度数。允许误差，每次将边集一分为二。希望将每个点度数除以 \(2\) 上取整，在左右部点各建一个虚点，将度数补齐为全是偶数，存在欧拉回路，将相邻的边分开得到两个边集，分别递归。\(\log \max d_i\) 轮后 \(\max d_i=1\)，将此时边集中的点染成一种颜色。
ucup 做题记录
9.12
joisc2017e
将 \(x\) 三进制拆分，\(0\to 01,1\to 10,2\to 11\)，如果 \(i\) 或 \(i+1\) 被影响就不选。两边用同个随机排列来遍历数组，并尽量利用坏段。
Q9237
先补一个 \(0\)，在一直补 \(1\) 至 \(1024\)。还原时把最后一个 \(0\) 以后扔掉。有 \(16\times 66=1056\) 个有效位，要用 \(1056-1024=32\) 位说明哪些位置被控制。令 \(c_i=0\) 后最近的 \(c_j=0\)，前 \(j-i-1\) 条信息第 \(i\) 位为 \(0\)，第 \(j-i\) 条信息第 \(i\) 位为 \(0\)。还原时可以建图，找 \(31\) 个点的内向基环树的长为 \(16\) 的环，是唯一的。
agc034e
记 \(sum=\sum_{c_i=1} dis_{i,x}\)，每步 \(sum\) 减小 \(2\) 最优。维护 \(mn_u,mx_u\) 表示最多最少能将 \(u\) 子树内 \(\sum_{v=subtree(u),c_v=1}dis(u,v)\) 变为多少。讨论最大的子树是否大于一半。
arc110e
用异或表示。令 \(a\to 1,b\to 2,c\to 3\)，\(f(s)=\oplus s_i\) 不变。设 \(dp_i\) 为划分 \(s[1,i]\) 的方案，枚举最后一个字符是什么。
P6790
广义串并联图。删 \(1\) 度点，缩 \(2\) 度点，叠合重边。记 \(f_i\) 为第 \(i\) 条边在生成树上的方案数，\(g_i\) 为不在的方案数。删一度点，\(f_i\) 乘进答案；缩 \(2\) 度点，\(f_i=f_uf_v,g_i=f_ug_v+f_vg_u\)；叠合重边，\(f_i=f_ug_v+f_vg_u,g_i=g_ug_v\)。
9.13
模拟赛 T4
建 trie 树。先假设全选 \(A\)，计算答案与 \(\sum d_iAc_i\) 的差值。按 dfn 序转移，设 \(dp_i\) 为上一个单词在 \(i\) 的答案，\(dp_x=\max dp_i+(B-dep_{lca-1}A)c_x\)。李超线段树维护转移。
9.14
abc308h
枚举连向环外的点 \(u\)。在挖掉 \(u\) 的子图中求全源最短路，答案为 \(\min dis_{x,y}+e_{u,x}+e_{u,y}+\min_{i\ne x,i\ne y}e_{u,i}\)。线段树分治，加入点时进行松弛操作。复杂度 \(O(n^3\log n)\)。
9.15
模拟赛 T4
Boruvka 算法。每次对于每个连通块找到最小的到连通块外的边，全部连起来。每次连通块数量减半。将矩阵加对对角线翻转，扫描线找到每个 \(i\) 的最小边。线段树分别维护最小值和连通块不同的次小值。
9.16
CF901D
模拟赛 T3。
找出一颗生成树，满足除了根以外的所有点。调整根，只有奇环有用。只要有一个奇环，\(a_1\) 就可以减去 \(2\times val\)。因为保证 \(a_1\) 和 \(d_1\) 奇偶性相同，找一颗 bfs 的生成树即可。
9.18
Q8948
模拟赛 T3。
对于一个菊花，有 \(n0\) 个黑色儿子，\(n1\) 个白色儿子，\(n0>n1\) 当做 \(n0-n1+1\) 个黑；\(n1>n0\) 当做 \(n1-n0-1\) 个白；否则若 \(n\) 为偶 Bob 要先走当做黑；否则当做白。
P10214
模拟赛 T4。
设 \(dp_u\) 为 \(u\) 被投出时的票数，\((dp_u,u)\) 和 \((dp_v,v)\) 较大者先出。\(u\) 的儿子 \(v\) 影响 \(dp_u\)。对 \(v\) 按投出先后排序，二分一个前缀在 \(u\) 前被投出，即 \(a_u+\sum b_v-s_{i-1}>dp_{v_i}\)。平衡树维护每个点的儿子，支持插入删除二分。
此时单点修改复杂度为 \(O(dep)\)。重链剖分，求出 \(u\) 在轻儿子中二分的结果 \(ans\)，若 \(ans>dp_{son}\)，\(dp_u=ans\)；否则在轻儿子中二分 \(a_u+\sum b_v-b_{son}\)。\(dp_u\) 为关于 \(dp_{son}\) 的分段常函数，段数为 \(2\)，可以合并。线段树维护重链信息乘积，修改时改链顶父亲的轻儿子的平衡树，查询时从链底 dp 值加上区间信息求 dp 值。
9.19
CF1647F
模拟赛 T3。
假设一个最大值为左边峰顶。设 \(f_i\) 表示前缀 \([1,i]\)，一个序列在 \(i\)，另一个序列最小在哪里。\(g_j\) 为后缀。从左边峰顶到 \(n\) 枚举右边峰顶，设 \(dp_{i,0/1}\) 表示当前左/右序列在 \(i\)，另一序列的最大最小值。
CF1494F
模拟赛 T4。
最后是菊花，枚举菊花中心 \(u\)，删去与 \(u\) 连边的奇度数点找欧拉路径。
9.23
CF1635F
模拟赛 T3。
枚举可能贡献的答案对的较大值，只有左右第一个比 \(i\) 小的 \(j\) 才有贡献。
CF1784F
模拟赛 T4。
被删除的连续段长度一定是偶数；不会删去 \(n+k\) 以后的数；第二段关于中心对称。
枚举第一段长度 \(i\)，\(2i<n\)，枚举第二段在 \(n\) 左侧长为 \(j\)。\(\sum_{i=0}^k[2i<n]\sum_{j=0}^{\min(k-i,n-2i-1)} \binom{i}{k-i-j}\)。下指标关于 \(i\) 变换量为 \(O(1)\)，\(\sum_{i=l}^r\binom{p}{i}=2\times\sum_{i=l}^r\binom{p-1}{i}-\binom{p-1}{r}+\binom{p-1}{l-1}\)。否则剩余长度 \(n+k-2i-1\)，剩 \(k-i\) 次操作，\(\binom{n+k-2i-1-(k-i)}{k-i}\)。
arc184b
对于不是 \(2,3\) 倍数的 \(i\)，将 \(\frac{n}{i}\) 中的 \(2^a3^b\) 找出来，每次加入 \((a,b),(a+1,b),(a,b+1)\)，有 \(\log_3 n\) 级别宽的网格。状压 \(dp_{i,j,s}\) 表示前 \(i-1\) 行已经选完，第 \(i\) 行选到 \(j\) 列，当前面上状态为 \(s\)。\(\frac{n}{i}\) 只有 \(O(\sqrt n)\)级别，可过。
9.24
模拟赛 T4
扫描线维护编号较小的最大编号为 \(i\)，点边容斥强行选 \(i\)，主席树维护矩阵。交换 \(a_x,a_{x+1}\) 时重新做第 \(x,x+1\) 棵主席树即可。
9.25
【5校day1】构造题
从右上往左下确定每个点的颜色。对于点 \(u\) 最多有 \(4\) 个入边。如果不包含所以颜色，就赋没有出现的颜色。否则如果 \(v1,v3\) 通过 \(col_{v1},col_{v3}\) 的连通块联通，那么 \(v2,v4\) 一定不通过 \(col_{v2},col_{v4}\) 的连通块联通。
【5校day2】祖先
设 \(s_u\) 为 \(\sum_{v\in subtree(u)}a_v\)，答案为 \(\frac{s_u^2-a_u^2-\sum_{v\in son(u)}s_v^2}{2}\)。单点加为链加。类似动态 dp 维护轻儿子处的 \(\sum s_v^2\)。区间加单点查。子树加，先加上 \(u\) 到根的贡献，再打上子树 tag，维护 \(0/1/2\) 次方和。树剖时先进入重儿子，再去到每个儿子，再进入轻儿子子树。
9.26
joisc2020q
模拟赛 T4。
对 \(\lvert t_i-t_j\rvert\le r_i-l_j+1\) 连 \(i\to j\) 求 \(1\to n\) 的最短路。边权赋在点上，一个点只入队一次。按 \(t_i\) 建线段树，取出合法的 \(v\) 并删除。
【5校day5】签到题
先二分出 \(cnt_a,cnt_b,cnt_c\)，令 \(cnt_a\le cnt_b\le cnt_c\)。先将序列放 \(cnt_a\) 个 \(a\)，每次加一个 \(b\)，每次加一个 \(c\)。次数为 \(2cnt_a+2cntb_cntc\le \frac{5}{3}n\)。
9.27
模拟赛 T3
dij 状求答案，与除去 \((u,v)\) 的 \(u\to t\) 最短路相关。找出最短路树，非树边进行路径取 min。
模拟赛 T4
有决策单调性，二分栈，主席树维护前 \(k\) 大的和。统计答案，只有不交区间有贡献，区间对区间 \(k\) 大取 min，如果一个点最后的值小于自己的值就可以选。
9.29
模拟赛 T4
每个位置对答案的贡献为向下递归的层数。设 \(\le i\) 的数最后出现在 \(p_i\)，\((i,i+1)\) 被断开的层为 \(p_i-i\)。\(i\) 的贡献为 \(\max (p_{i-1}-(i-1),p_i-i)\)。取到后面的为 \(a_{p_i}=i\)。
上指标求和，最后只与 \(i\) 有关的式子。
9.30
CF1648F
模拟赛 T4。
建出 dfs 树，非树边赋随机权值，随机异或哈希。如果割两条树边，只能是 \(hsh_u=hsh_v\)。相同的 \(hsh_i\) 都在到根的链上，且有决策单调性，对于每个相同权值放在序列上分治。两边 \((u,fa_u),(v,fa_v)\) 的答案为：跨过 \(u\) 的点对减跨过 \(v\) 的点对加两倍没有跨过 \(u\) 但跨过 \(v\) 的点对。后面的贡献在 dfs 序上维护主席树，在两点处 \(+2\)，lca 处 \(-4\)。
