2024.8 做题记录
8.1
P6222
令 \(f(T)=\sum_{d\mid T}d\mu^2(d)\mu(\frac{T}{d})\)，为积性函数，讨论 \(f(p^k)\) 的取值。
P10636
枚举第一个点和第三个点的横纵坐标之差 \(i,j\)，第二个点有 \(gcd(i,j)-1\) 种选择。
莫比乌斯反演。
8.3
P3598
对每个指数 min-max 容斥，乘起来得到 gcd-lcm 容斥。
\(f(n)=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\)。提出 \(x-1\)。因为 \(gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{gcd(a,b)}-1\)，用 map 储存指数。
8.6
arc069d
二分答案，线段树优化建图跑 2-sat。要保证 \(i\) 不会连到 \(i'\)，向排序后一个编号区间连边，中间挖空。
P10833
枚举每个 \(a_i=1\) 将序列划分开，枚举左/右端点，钦定最大值在左/右边，可以确定一段区间。随机异或哈希比较 \(\oplus_{i=l}^r f_{a_i}=\oplus_{i=1}^{r-l+1} f_i\)。
8.7
arc072d
模拟赛 T2。
设 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 天体积为 \(j\) 的最大质量，图像上凸。\(f_{i-1}\) 到 \(f_i\) 即删去 \([v_i,L]\)，在最开始加上 \((v_i,v_it_i)\)，在将前面取 max 为上凸。双端队列维护。
arc070c
模拟赛 T3。
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 条线段，第 \(i\) 条左端点为 \(j\) 的最小代价。\(f_{i,j}=\min_{k=j-len_{i-1}}^{j+len_i} f_{i-1,j}+\mid j-l_i\mid\)。
取 min 和加绝对值函数，下凸，slope trick 维护。
模拟赛 T4
从小到大放入特殊点，当前在点 \(i\)，已选的比赛集合为 \(s\)，有 \(j\) 个点在 \([1,a_i]\) 中没被选。每个和 \(1\) 比赛的特殊点都是子树中最大的。dp 套 dp 维护上升子序列长度，做前缀最大值后差分后状压得 \(t\)，\(t\) 是 \(s\) 的子集。枚举没选过的比赛 \(l\)，\(dp_{i,upd(s,t,l)，j+a_i-a_{i-1}-2^l}=dp_{i-1,s,t,j}\times \binom{j+a_i-a_{i-1}-1}{2^l-1}\times (2^l)!\)。
P3343
\(n\) 个 \([0,1]\) 之间的随机变量第 \(k\) 小的为 \(\frac{k}{n+1}\)。引入第 \(n+1\) 个随机变量 \(x\)，第 \(k\) 小的数值等于 \(x\) 比第 \(k\) 小小的概率 \(\frac{kn!}{(n+1)!}\)。
\(dp_{s,i}\) 表示选点集 \(s\)，连了 \(i\) 条边，不连通的方案数，\(d_s\) 为 \(s\) 内部的边，连通的方案数为 \(\binom{b_s}i -dp_{s,i}\)。枚举 \(s\) 的子集 \(t\)，\(dp_{s,i}=(\binom{b_t}{j}-dp_{t,j})\times \binom {b_{s\oplus t}} {i-j}\)。枚举答案为第 \(i\) 条边，\(ans=\sum \frac{i}{m+1}\times(\frac{dp_{U,k-1}}{\binom{m}{k-1}}-\frac{dp_{U,k}}{\binom{m}{k}})\)。
8.8
P9047
模拟赛 T3。
\(dp_{u,0/1/2/3}\) 表示 \(u\) 子树并向上传长为 \(0/1/2/3\) 的链的最大贡献。转移时背包 \(f_{i,0/1}\) 记录上传长度 \(1\) 的儿子比上传长度 \(3\) 的多多少，以及上传长度 \(2\) 儿子的奇偶性。随机排列儿子，期望前缀和最大值是 \(O(\sqrt n)\) 级别的。
agc061c
选 \(a_i\) 或 \((a_i,b_i)\) 有被选过选 \(b_i\)。容斥，取最大的 \(b_l<a_i\) 和 \(a_r<b_i\)，\((l,r]\) 间选法固定，\(-dp_l\to dp_r\)。
8.9
CF925E
链加，树剖 dfn 区间加，分块维护。先减去 \(t_i\)，维护 \(>0\) 的白点数量。
Q4815
点分治，树上依赖性背包，\(dp_{i,j}=\max(dp_{i+1,j-1}+a_{rnk_u},dp_{i+siz_{rnk_i},j})\)。如果一定要选 \(rt,u\)，就 \(O(k)\) 合并在前序遍历 dfn 序在 \([dfn_u,n]\) 中的背包和后序遍历 dfn 序在 \([1,dfn_u-siz_u]\) 的背包选出 \(k-dep_u\) 个数。当分治的区域小于 \(k\) 时停止，复杂度 \(O(nk\log\frac{n}{k})\)。
abc269h
树形背包写成生成函数形式，\(f_u(x)=\prod_v f_v(x)+x\)。分为重儿子和轻儿子贡献。分治 ntt 维护 \(g_u(x)=\prod_{v\in son(u),v\neq s_u} f_v(x)\)，所有轻儿子子树大小之和为 \(O(n\log n)\)。重链上 \(f_u(x)=g_uf_{s_u}(x)+x\)。只需要知道链顶的值，\(f_{a_1}(x)=g_{a_1}(g_{a_2}(\dotsb(g_{a_k}+x)\dotsb)+x)+x=(\sum_{i=1}^{n-1}x\prod_{j=1}^i g_{a_j})+x\)。分治 ntt 维护前缀乘积之和和乘积。复杂度 \(O(n\log^3 n)\)。
hdu7503
树形背包写成生成函数形式，\(f_u(x)=\prod_v f_v(x)+1\)。特别的，需要求出重链上所有 \(f_u(x)\) 每项的系数和，即 \(g_u(x)\) 的区间乘积之和。分治 ntt 维护前缀乘积之和、后缀乘积之和、乘积和区间乘积之和。
8.10
cf rmj 暴毙！
CF1733E
模拟赛 T3。
\(t\) 时刻可能在 \((x,y)\) 的是 \(t-x-y\) 出发的人。设 \(dp_{t,i,j}\) 表示前 \(t\) 个人会经过 \((i,j)\) 几次，\(dp_{i,j}=\lceil \frac{dp_{i,j-1}}{2}\rceil+\frac{dp_{i-1,j}}{2}\)。差分看 \(dp_{t,x,y}-dp_{t-1,x,y}\) 是否为 \(1\)。
Q6815
模拟赛 T4。
线段树维护 \(\max a_i,\sum a_i,\sum\max_{j=l}^i a_j,\sum a_i\times \max_{j=l}^i a_j\)。\(O(\log n)\) 线段树上二分的 pushup。区间加和区间覆盖。线段树上二分。
8.11
arc182c
思路
有 \(6\) 个小于 \(14\) 的质数，设这 \(6\) 个质数的指数分别为 \(x_1,\dotsb,x_6\)。\(ans=\sum (\prod_{i=1}^d (x_i+1))\)。状压这 \(6\) 个数，维护 \(val_s=\prod_{i=1}^6 (x_i\times [s二进制第 i位为1]+[s二进制第 i位为0])\)。当加入一个数时，某些 \(x_i\) 会加 \(d\)，\(s\) 二进制第 \(i\) 位为 \(1\) 的 \(val_s\) 会从 \(s\) 的子集且一些二进制第 \(i\) 位为 \(0\) 的 \(t\) 的 \(val_t\) 转移来。
8.12
模拟赛 T3
设 \(f_i\) 表示当前有 \(i\) 种状态的期望次数。\(f_i=i+\frac{f_{ik\mod n}}{k}\)。转移有环，设 \(f_i=a_i f_{m+1}+b_i\)，递推 \(a_i,b_i\)，找到 \(a_p=a_{m+1}\) 可以计算 \(f_p\) 真正的值，\(f_1=a_1\times f_p+b_1\)。
P8996
让前缀最大值 \(a_l\) 代表整个区间，可以看做合并是将两个序列的前缀最大值排序。每次合并相当于在 \(\frac{n}{2}\) 处断开跨过序列中点的区间 \([l,r]\)，然后再重新按区间左端点的值排序。最多操作 \(n\) 次，最多 \(n\) 种区间。将询问离线，维护每次合并后的区间信息。建权值线段树表示前缀最大值 \(l\) 代表的区间长度之和。
P8997
按题意模拟，用栈建出二叉树，叶子节点是要填的值，非叶子是运算符。
判断一个叶子能贡献能填哪些数并最终成为答案，设 \(dp_{u,0/1,0/1}\) 表示 \(u\) 子树内，\(u\) 处的值 \(\le ans\) 或 \(>ans\)，\(num0\) 或 \(num1\) 最少为多少。根据 \(u\) 处的运算符分类讨论转移。对于每个叶子算限制，只与从根到 \(u\) 的 dp 值有关。可以发现放在一个叶子的答案是一个区间 \([num0+1,n-num1]\)，差分维护区间加，最后计算大于 \(0\) 的位置数。
8.13
模拟赛 T3
合并连续段写为二元组 \((a_i,t_i)\)。每次找到区间最小值合并，如果 \(c_i\) 为奇数，一定不可能被跨过，写为 \((a_i+1,\frac{t_i}{2}),(inf,1),(a_i+1,\frac{t_i}{2})\)。线段树维护。
8.14
arc080d
模拟赛 T4。
将 \(a\) 数组差分，得到 \(2\) 倍连续段个数个 \(1\)，一次操作形如 \(a_i\) 和 \(a_{i+prime}\) 同时异或 \(1\)。\(i\) 向 \(i+prime\) 连边，即为 \(0\to |u-v|\) 的最短路。由哥德巴赫猜想，\(10^7\) 内 \(>4\) 的偶数可以写成两个质数之和，\(2=0+5-3\)，\(4=0+7-3\)，所以所以 \(0\) 到偶数 \(i\) 的最短路为 \(2\)。如果 \(i\) 为奇质数，最短路为 \(1\)；否则 \(i+3\) 为偶数，最短路为 \(3\)。
现在要将 \(2\times num\) 个数两两分组，代价为 \(1/2/3\)，最小化代价和。当选完若干个代价为 \(1\) 的组时，奇偶性相同组的代价为 \(2\)，尽量匹配，代价为 \(3\) 的至多只有一组。所以最大化代价为 \(1\) 的组数。代价为 \(1\) 时 \(u,v\) 奇偶性不同，等于二分图最大匹配，网络流即可。复杂度 \(O(n^2\sqrt n+x_i)\)。
abc216h
概率转为方案数除以 \(2^{nm}\)。由 LGV 引理，\(ans=\sum_p(-1)^{\sigma (p)}\prod e(i,p_i)\)。\(e(i,j)\) 为 \(m\) 步选 \(j-x_i\) 步向前走。设 \(dp_{s,i}\) 表示选了 \(s\) 里的终止点，终止点 \(\le i\) 的方案数。
agc034d
最大化曼哈顿距离，拆绝对值变成 \(4\) 个 \(x_i,y_i\) 独立的式子。只要匹配的点对选的同一种式子即可。最小费用最大流。
8.15
【模板】矩阵求逆
将矩阵和单位矩阵放在一起高斯消元，把左边的矩阵消为单位矩阵时右边的单位矩阵变成逆矩阵。
模拟赛 T3
求 \(x\) 使得 \(n\times n\) 的矩阵 \(A^x=C\)。
\(det(A)det(B)=det(AB)\)。对 \(det(A)^x\equiv det(C)\pmod{10^9+7}\) 做 BSGS。对于 \(1\) 个可能的 \(x\) ，判断 \(x,x+mod-1,x+2\times(mod-1),\dotsb\)。只有 \(\frac{10^{10}}{mod}\) 个 \(x\)，复杂度 \(O(\sqrt{mod}+\frac{10^{10}}{mod} n^3)\)。
8.17
模拟赛 T2
是关于 \(i\) 的 \(m+1\) 次多项式，维护 \(m+2\) 个点值插值。
模拟赛 T3
对于每个连通块，二分图染色分为 \(a_i\) 和 \(b_i\) 个点。每次要么选 \(a_i\) 要么选 \(b_i\)，要最小化 \(sum\) 和 \(n-sum\) 的差。bitset 维护背包，只有 \(O(\sqrt n)\) 个本质不同物品，相同的物品二进制优化。复杂度 \(O(\frac{n\sqrt n}{w})\)。
模拟赛 T4
找出最小生成树。从小到大加入边，维护边双，一定能去到一个边双的最小权值的边。并查集维护每个点属于哪个边双，维护边双最浅的点，维护 \(1\to u\) 的最小边权 \(mn\) 和最小答案 \(ans\)。
对于 \((u,v)\)，如果 \(u,v\) 已经属于同个边双，不会贡献。如果 \((u,v)\) 是最小生成树中的边，如果 \(1\) 能新到一些点，bfs 拓展，赋值答案。否则将 \(u\to v\) 路径上的边双合并，设新边双最浅点为 \(p\)，将 \(p\) 子树的所有点的 \(mn\) 和 \(ans\) 更新。如果更新到了非法的点，一定是没有被拓展到的，会在被拓展到时被覆盖。
8.19
CF622F
是 \(k+1\) 次多项式，算 \(k+2\) 个点值插值。维护阶乘，\(\prod n-i\)，\(\prod (n-k-2+i)\)。如果 \(n-i\) 是奇数取负号。
arc165e
等价于每种情况出现的概率之和。概率为连通块相邻的点被选都在连通块被选之前，即 \(\frac{i!j!}{(i+j)!}\)。设 \(dp_{u,i,j}\) 表示根为 \(u\)，子树内选 \(i\) 个点，有 \(j\) 个相邻的点的连通块的概率，\(O(n^4)\) 转移。
abc249g
模拟赛 T3。
枚举 \(\oplus x_i\) 和 \(k\) 的最高相同的位 \(i\)，\(i\) 位以下不用管。按位贪心确定 \(\oplus y_i\)，将 \(2^i\frac{a}{2^i}\) 和 \(2^i\frac{b}{2^i}\) 拼在一起放入线性基中。复杂度 \(O(n\log^3V)\)。
减少有用的 \((a_i,b_i)\)。如果 \(a_i\) 能被 \(a_1,\dotsb ,a_{i-1}\) 表示出，那 \(b_i\) 消去对应的 \(b_j\)，变成 \((0,b_i')\) 不会造成影响。只有 \(O(\log V)\) 个 \((a_i,b_i)\)。复杂度 \(O(n\log V+\log^3 V)\)。
8.20
模拟赛 T3
从深度大往小维护线段树，启发式合并。\(u\) 和 \(v\) 处 \([l,r]\) 差分维护加 \(1\)，lca 对应 \(u,v\) 的儿子处删除。每次修改后，线段树上二分极长非零连续段的左右端点，回答能回答的询问并删除询问。将询问挂在 \(r\) 上，线段树维护区间 \(l\) 的最大值，每次取出并删除。
CF1174E
\(a_1\) 一定是 \(2^x3^y\)，且 \(y=0/1\)。每次 \(x\) 或 \(y\) 减一或不变，dp 即可。
8.21
CF1264D2
模拟赛 T2。
等于在唯一一个 \(pre_i=suf_{i+1}\) 的地方计算答案。枚举分界点，设左边有 \(x\) 个 (，\(l\) 个 ?，右边有 \(y\) 个 )，\(r\) 个 ?，答案为 \(\sum_{i=0}^l \binom l i\times \binom r{x+i-y}\times (x+i)=x\times \sum_{i=0}^l\binom l i\times \binom r{r-x+y-i}+l\times\sum_{i=0}^l \binom{l-1}{i-1}\times \binom{r}{r-x+y-i}=x\binom{l+r}{r+y-x}+l\binom{l+r-x}{r-x+y-1}\)。
CF1616H
模拟赛 T4。
建 trie dp，设 \(f_u\) 表示 \(u\) 子树内选点两两异或小于等于 \(x\) 的方案数，\(g_{u1,u2}\) 表示 \(u1,u2\) 子树内选点两两异或小于等于 \(x\) 的方案数。分讨向下递归，每个点只经过一次。
