2024.7 做题记录

7.7

P6891

设 $d p_{i, j, 0 / 1}$ 为前 $i$ 个选了 $j$ 个 A 中的数，结尾是 A/B。交换维度，改为 pair $d p_{i, 0 / 1}$ 表示前 $i$ 个，结尾是 A/B，合法的 $j$ 的范围。

CF1919F2

网络流建图， $(s, i, a_{i}), (i, i + 1, c_{i}), (i, t, b_{i})$ 。转为最小割，线段树维护区间左右两端割 $s$ 还是 $t$ 。如果 $m i d$ 割 $t$ 且 $m i d + 1$ 割 $s$ ，还要额外割 $(i, i + 1)$ 。

P4370

有 $(\binom{n}{m}) > (\binom{n - 1}{m})$ ，加入优先队列。数存不下，取对数比较。

\log (\binom{n}{m}) = \log n! - \log m! - \log (n - m)! = \sum^{n} \log i - \sum^{m} \log i - \sum^{n - m} \log i

7.8

CF1830D

MEX 值为 $0 / 1 / 2$ ，先令值都为 $2$ 计算损耗。同时连通块之间有损耗。 $d p_{u, 0 / 1, i}$ 表示当前包含 $u$ 的同色连通块颜色和大小时的最小损耗。大小一维不超过 $O (\sqrt{n})$ ，计算完儿子就释放空间。

Q1281

枚举前后 $i$ 个 $1$ ， $j$ 个 $3$ 。 $max i + j + min (s a_{r a_{j} - 1} - s a_{l a_{i}}, s b_{r b_{j} - 1} - s b_{l b_{i}})$ 。

拆 $m i n$ ，从后向前遍历 $i$ ，权值线段树。

CF1656H

等价于 $x \in S A, \underset{y \in S B}{gcd} \frac{x}{gcd (x, y)} = 1$ 。建 $n + m$ 个线段树，单点删除。

CF1270H

连通块一定是序列上的一段连续的区间。等价于计算分段点，多少 $p$ 使得 $min_{i \leq p} a_{i} > max_{i > p} a_{i}$ 。对于每个 $v$ 将序列改写为 01 序列，维护有几个 $10$ 和 $v$ 是否出现。

Q1163

树剖，讨论 $v$ 是否是 $u$ 的祖先。 $\sum_{v} d i s (u, v) a_{v}$ 等价于以 $u$ 为根，每条边下的子树的 $a$ 和。维护区间加一次函数，加子树大小。

给每个连通块定一个代表，按 $a_{i} + b_{j}, a_{i}, i$ 比较。预处理 $i$ 左右比 $a_{i}$ 大的 $l a_{i}, r a_{i}$ 和 $m a_{i} = min (max_{l a_{i} \leq j \leq i} a_{j}, max_{i \leq j \leq r a_{i}} a_{j})$ 。 $(i, j)$ 能向更小的走一定能去到 $(l a_{i} / r a_{i}, j) / (i, l b_{j} / r b_{j})$ 。所以满足条件的 $(i, j)$ 满足 $a_{i} + b_{j} \leq x, a_{i} + m b_{j} > x, m a_{i} + b_{j} > x$ 。扫描线。

Q1838

记 $v 1$ 为两个相交且第三个都无交， $v 2$ 为一个和两个都有交且另两个无交， $v 3$ 为三个两两有交。扫描线算出与 $i$ 相交的数量 $d_{i}$ 。 $\sum (\binom{d_{i}}{2}) = v 2 + 3 v 3, \sum d_{i} (n - 2) = 2 v 1 + 4 v 2 + 6 v 3$ 。只要求 $v 3$ 。

扫描线，在 $l_{i}$ 最大的矩形上计数，再容斥为 $(\binom{d_{i}}{2})$ 减两个无交。 $l_{i} < r_{a} < l_{b} < r_{i}$ 。线段树维护区间有几个左右端点，有多少对先右后左的端点对。

Q3029

求出每条边的断裂时间，用重构树回答询问。考虑树的情况，在 $u$ 记录当前 $v$ 对 $u$ 高低的上下界要求。对于 $u$ 变化，判断在不在上下界内，再更新 $f a$ 的上下界。到平面图，给边定向，希望 $u \to f a$ 这样的出边尽可能少。每次找到度最小的点全部定为出边，出度小于 $5$ 。

7.10

CF1844E

确定了第一行第一列就可以确定整个矩阵，每行每列差分值相同，取值只有 $1, 2$ 。限制转换为差分值相等或相反，二分图染色。

CF1693F

希望每次操作 $c n t 0 = c n t 1$ 使贡献为 $1$ 。若整个序列 $0$ 少于 $1$ ，就翻转并取反序列。每次找到最长的 $c n t 0 = c n t 1$ 前缀并删去 $c n t 0$ 个 $0$ ，直到 $c n t 0 < c n t 1$ 就补满 $0$ 一次做完。

CF1656G

相当于从 $(1, n)$ 到 $(\frac{n}{2}, \frac{n}{2} + 1)$ 一对对填数，维护若干条链。除了最后一步，无论如何都能找到一对 $(i, j)$ 入度为 $0$ 且 $a_{i} = a_{j}$ 且不会形成环。如果 $n$ 为奇数，找到一个 $v$ 使得 $v \neq \frac{n + 1}{2}$ 且 $t_{a_{v}}$ 为奇数，可能无解。

Q5416

时间逆流，覆盖等于将区域设为通配符。每次保证至少增加一个通配符即可。

Q5504

线段树优化建图跑 2-sat。要在 DAG 上找到大小之和在 $[n, 2 n]$ 中的后缀。如果不存在某个点大小大于 $n$ ，取拓扑序的一段前缀。否则判断一个大小大于 $n$ 的点的前缀后缀是否符合条件。

CF1209G2

对于每个颜色的 $[l, r)$ 加 $1$ ，每个极长非零连续段答案独立，选区间出现次数最多的颜色。按最小值分割，线段树维护。

7.11

uoj698

前缀线性基求交，二分。

线性基 A,B 的交：对于每个 $b_{i}$ ，如果能被 $a \cup b_{1} \dots b_{i - 1}$ 子集异或出来，就把方案中属于 a 的异或和加入交中。

P2260

整除分块， $⌊ \frac{n}{i} ⌋$ 只有 $\sqrt{n}$ 种取值。

P3455

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [g c d (i, j) = k]

= \sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} [g c d (i, j) = 1]

= \sum_{i = 1}^{\frac{n}{k}} \sum_{j = 1}^{\frac{m}{k}} \sum_{d ∣ g c d (i, j)} μ (d) $ $

= \sum_{d = 1}^{n} μ (d) \frac{n}{k d} \frac{m}{k d}

预处理 $μ (d)$ 前缀和，整除分块。

7.13

loj3627

$\sum [a_{i} = c_{i, j}] + [b_{j} = c_{i, j}] - [a_{i} = b_{j}] \leq n^{2}$ ，且当且仅当 a,b 合法时取等。

枚举 $x = \sum a_{i}$ 和 $y = \sum b_{j}$ ， $\sum [a_{i} = b_{j}]$ 为定值，贪心最大化 $\sum [a_{i} = c_{i, j}] + [b_{j} = c_{i, j}]$ 检查。

P8340

从小到大加数，要保证 $a_{i} \leq s u m_{i - 1}$ 。容斥， $d p_{i}$ 表示当前能表示出 $[1, i]$ 。且总和为 $i$ 。等价于 $i$ 的互异拆分数减去之前的 $d p_{j}$ 乘上 $[j + 2, i]$ 中的数和为 $i - j$ 的方案数。

求互异拆分数，数字个数 $O (\sqrt{n})$ 个，等于从 $\sqrt{n}$ 到 $1$ 完全背包加入 $i$ ，表示有多少个数大于 $i$ 。

$d p_{j}$ 贡献给 $d p_{i}$ 也形如求互异拆分数，有 $i \geq 2 \times j$ 。类似半在线卷积，前一半贡献给后一半。

7.14

P10778

找出一棵生成树，给非树边赋随机值，随机异或哈希，树边等于跨过该边的非树边的权值异或和。图不连通等价于若干条边的权值中存在子集异或和为 $0$ ，线性基。

P6647

每 $k$ 分一段，每一段中使用的天数相同。 $d p_{i} = {max}_{j = i - k}^{k \times ⌊ \frac{i - 1}{k} ⌋} d p_{j} + {max}_{k = j + 1}^{i} a_{k}$ 。一段段计算，预处理前一段的后缀最大值，更新当前段的前缀最大值。