2024.7 做题记录

7.7

P6891

设 $dp_{i,j,0/1}$ 为前 $i$ 个选了 $j$ 个 A 中的数，结尾是 A/B。交换维度，改为 pair $dp_{i,0/1}$ 表示前 $i$ 个，结尾是 A/B，合法的 $j$ 的范围。

CF1919F2

网络流建图，$(s,i,a_i),(i,i+1,c_i),(i,t,b_i)$。转为最小割，线段树维护区间左右两端割 $s$ 还是 $t$。如果 $mid$ 割 $t$ 且 $mid+1$ 割 $s$，还要额外割 $(i,i+1)$。

P4370

有 $\binom n m>\binom{n-1}m$，加入优先队列。数存不下，取对数比较。

\[\log \binom n m=\log n!-\log m!-\log (n-m)!=\sum^n \log i-\sum^m \log i-\sum^{n-m} \log i \]

7.8

CF1830D

MEX 值为 $0/1/2$，先令值都为 $2$ 计算损耗。同时连通块之间有损耗。$dp_{u,0/1,i}$ 表示当前包含 $u$ 的同色连通块颜色和大小时的最小损耗。大小一维不超过 $O(\sqrt n)$，计算完儿子就释放空间。

Q1281

枚举前后 $i$ 个 $1$，$j$ 个 $3$。$\max i+j+\min(sa_{ra_j-1}-sa_{la_i},sb_{rb_j-1}-sb_{lb_i})$。

拆 $min$，从后向前遍历 $i$，权值线段树。

CF1656H

等价于 $x\in SA,\gcd_{y\in SB} \frac{x}{\gcd(x,y)}=1$。建 $n+m$ 个线段树，单点删除。

CF1270H

连通块一定是序列上的一段连续的区间。等价于计算分段点，多少 $p$ 使得 $\min_{i\le p} a_i>\max_{i>p} a_i$。对于每个 $v$ 将序列改写为 01 序列，维护有几个 $10$ 和 $v$ 是否出现。

Q1163

树剖，讨论 $v$ 是否是 $u$ 的祖先。$\sum_v dis(u,v)a_v$ 等价于以 $u$ 为根，每条边下的子树的 $a$ 和。维护区间加一次函数，加子树大小。

给每个连通块定一个代表，按 $a_i+b_j,a_i,i$ 比较。预处理 $i$ 左右比 $a_i$ 大的 $la_i,ra_i$ 和 $ma_i=\min (\max_{la_i\le j\le i} a_j,\max_{i\le j\le ra_i} a_j)$。$(i,j)$ 能向更小的走一定能去到 $(la_i/ra_i,j)/(i,lb_j/rb_j)$ 。所以满足条件的 $(i,j)$ 满足 $a_i+b_j\le x,a_i+mb_j>x,ma_i+b_j>x$。扫描线。

Q1838

记 $v1$ 为两个相交且第三个都无交，$v2$ 为一个和两个都有交且另两个无交，$v3$ 为三个两两有交。扫描线算出与 $i$ 相交的数量 $d_i$。$\sum \binom {d_i}2=v2+3v3,\sum d_i(n-2)=2v1+4v2+6v3$。只要求 $v3$。

扫描线，在 $l_i$ 最大的矩形上计数，再容斥为 $\binom {d_i}2$ 减两个无交。$l_i<r_a<l_b<r_i$。线段树维护区间有几个左右端点，有多少对先右后左的端点对。

Q3029

求出每条边的断裂时间，用重构树回答询问。考虑树的情况，在 $u$ 记录当前 $v$ 对 $u$ 高低的上下界要求。对于 $u$ 变化，判断在不在上下界内，再更新 $fa$ 的上下界。到平面图，给边定向，希望 $u\to fa$ 这样的出边尽可能少。每次找到度最小的点全部定为出边，出度小于 $5$。

7.10

CF1844E

确定了第一行第一列就可以确定整个矩阵，每行每列差分值相同，取值只有 $1,2$。限制转换为差分值相等或相反，二分图染色。

CF1693F

希望每次操作 $cnt0=cnt1$ 使贡献为 $1$。若整个序列 $0$ 少于 $1$，就翻转并取反序列。每次找到最长的 $cnt0=cnt1$ 前缀并删去 $cnt0$ 个 $0$，直到 $cnt0<cnt1$ 就补满 $0$ 一次做完。

CF1656G

相当于从 $(1,n)$ 到 $(\frac{n}{2},\frac{n}{2}+1)$ 一对对填数，维护若干条链。除了最后一步，无论如何都能找到一对 $(i,j)$ 入度为 $0$ 且 $a_i=a_j$ 且不会形成环。如果 $n$ 为奇数，找到一个 $v$ 使得 $v\neq \frac{n+1}{2}$ 且 $t_{a_v}$ 为奇数，可能无解。

Q5416

时间逆流，覆盖等于将区域设为通配符。每次保证至少增加一个通配符即可。

Q5504

线段树优化建图跑 2-sat。要在 DAG 上找到大小之和在 $[n,2n]$ 中的后缀。如果不存在某个点大小大于 $n$，取拓扑序的一段前缀。否则判断一个大小大于 $n$ 的点的前缀后缀是否符合条件。

CF1209G2

对于每个颜色的 $[l,r)$ 加 $1$，每个极长非零连续段答案独立，选区间出现次数最多的颜色。按最小值分割，线段树维护。

7.11

uoj698

前缀线性基求交，二分。

线性基 A,B 的交：对于每个 $b_i$，如果能被 $a\cup {b_1\dotsb b_{i-1}}$ 子集异或出来，就把方案中属于 a 的异或和加入交中。

P2260

整除分块，$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 只有 $\sqrt n$ 种取值。

P3455

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=k] \]

\[=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}} [gcd(i,j)=1] \]

\[=\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{k}}\sum_{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$$ \]

\[=\sum_{d=1}^n \mu(d)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd} \]

预处理 $\mu(d)$ 前缀和，整除分块。

7.13

loj3627

$\sum [a_i=c_{i,j}]+[b_j=c_{i,j}]-[a_i=b_j]\le n^2$，且当且仅当 a,b 合法时取等。

枚举 $x=\sum a_i$ 和 $y=\sum b_j$，$\sum [a_i=b_j]$ 为定值，贪心最大化 $\sum [a_i=c_{i,j}]+[b_j=c_{i,j}]$ 检查。

P8340

从小到大加数，要保证 $a_i\le sum_{i-1}$。容斥，$dp_i$ 表示当前能表示出 $[1,i]$ 。且总和为 $i$。等价于 $i$ 的互异拆分数减去之前的 $dp_j$ 乘上 $[j+2,i]$ 中的数和为 $i-j$ 的方案数。

求互异拆分数，数字个数 $O(\sqrt n)$ 个，等于从 $\sqrt n$ 到 $1$ 完全背包加入 $i$，表示有多少个数大于 $i$。

$dp_j$ 贡献给 $dp_i$ 也形如求互异拆分数，有 $i\ge 2\times j$。类似半在线卷积，前一半贡献给后一半。

7.14

P10778

找出一棵生成树，给非树边赋随机值，随机异或哈希，树边等于跨过该边的非树边的权值异或和。图不连通等价于若干条边的权值中存在子集异或和为 $0$，线性基。

P6647

每 $k$ 分一段，每一段中使用的天数相同。$dp_i=\max_{j=i-k}^{k\times \lfloor \frac{i-1}{k}\rfloor} dp_j+\max_{k=j+1}^{i}a_k$。一段段计算，预处理前一段的后缀最大值，更新当前段的前缀最大值。

CF1730F

按 $p_{q_i}$ 从小到大填入，设当前填完前缀 $[1,i]$，$i+1$ 没填，状压 $[i+1,i+k]$ 是否填入。

CF1781F

合法状态数除以 $\prod 2\times i-1$。$dp_{i,x}$ 表示还有 $i$ 次插入，当前前缀和为 $x$。

\[dp_{n,x}=\sum_{i=1}\sum_{j=1}^{n-1-i}\binom {n-1}{i}\times \binom {n-1-i}{j}\times(p\times dp_{i,x}\times dp_{j,x+1}\times dp_{n-1-i-j,x}+(1-p)\times dp_{i,x}\times dp_{j,x-1}\times dp_{n-1-i-j,x}) \]

前缀和优化。