2024.5 做题记录
5.09
CF575A
维护转移矩阵，线段树维护一段区间的矩阵乘法。
CF1575H
建 KMP 自动机，\(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 位，当前自动机上走到 \(j\)，已经匹配了 \(k\) 次的最小代价。当转移到终止节点时匹配次数加 \(1\)。
AT_codefestival_2016_final_h
\(f_{i,0/1}\) 表示从后往前走到 \(i\)，谁先手。发现 \(f_{i,0}=-f_{i,1}\)，改为一维。\(f_i=\min -f_j+sum_{j-1}-sum_{i-1}\)。只与 \((i,n]\) 的 \(\min -f_j+sum_{j-1}\) 有关。\(mn=\min(mn,2\times sum_{i-1}-mn)\)。
因为 \(a_i\le 10^6\)，改变 \(a_n\) 时 \(mn\) 的初值也只有 \(10^6\) 种，而中间 \(sum_{i-1}\) 不变。连边 dfs 记录每个 \(mn\) 初值会变成什么。
5.10
CF1517F
容斥求出半径小于 \(r\) 的方案数。\(dp_{u,x,y}\) 表示 \(u\) 的子树内，最深的未染色点的距离和最浅的染色点的距离。发现 \(x,y\) 只有一个有用。前后缀和优化，状态数 \(O(dep)<O(siz)\)。
CF1951G
用相邻两个球之间的距离来描述一个状态，鞅与停时定理。
差分 \(g(x)=f(x\mod n+1)-f(x)\)。
令 \(g(x)-g(x-1)=\frac{n}{m}x\)，\(g(0)=f(0)=0\)，\(g(x)=-\frac{n}{m}\binom{x+1}{2},f(x)=-\frac{n}{m}\binom{x+1}{3}\)。终止势能为 \(f(m)\)。
CF1007B
\(O(n\sqrt n)\) 预处理出每个数的所有因数，记为集合 \(p_i\)。显然题目要求计数 \(u\mid A,v\mid B,w\mid C\)。容斥，大力分讨。可以用 bitset 维护交集。如果把分解因数写成先分解质因数再 dfs 求因数，复杂度 \(O(n)\)，常数约为 \(400\)。
5.12
CF662C
状压每一行，记录每种状态在 \(m\) 列上出现的次数和最小代价，fwt。\(ans_{i\oplus j}=\sum num_i\times val_j\)。
模板 子集卷积
加一维记录集合元素个数，\(f_{popcount(i),i}=a_i\)。先将每一维 or 卷积，再 \(O(n^2)\) 将外层加法卷积。复杂度 \(O(n^2 2^n)\)。
CF1034E
无法子集卷积。因为对 \(4\) 取模，可以将 \(a_i\) 乘 \(4^{popcount(i)}\)，然后进行不取模 or 卷积。如果 \(a_i\times b_j\to c_k\) 且 \(i\text{&} j\neq 0\)，\(popcount(i)+popcount(j)>popcount(k)\)。最后 \(c_i\) 除 \(4^{popcount(i)}\) 再对 \(4\) 取模。
CF960G
枚举最大值的位置，左边有 \(a-1\) 个最大值，右边有 \(b-1\) 个。分治NTT求 \(\prod (x+i)\)。
5.13
CF377D
\(\max l_i\le L\le \min v_i\le \max v_i\le R\le \min r_i\)。矩形的交，扫描线。
5.14
CF1895F
容斥。存在 \(a_i\in [x,x+k-1]\) 的方案数等于 \(\min a_i\le x+k-1\) 的方案数减 \(\max a_i<x\) 的方案数。当确定了一个序列的最小值和差分数组就可以确定一个序列。前半部分方案数为 \((x+k)\times (2k+1)^{n-1}\)。后半部分矩阵快速幂 \(O(x^3\log n)\)。
5.15
CF1886E
观察发现每个项目只与程序员数量和最小值有关，所以每个项目对应能力值连续的程序员最优。状压项目数。设 \(dp_{i,s}\) 为前 \(i\) 个程序员匹配的项目状态为 \(s\) 是否可行，无法接受。交换维度，改为 \(dp_s\) 表示状态 \(s\) 能与前缀 \([1,i]\) 匹配的最小 \(i\)。
全选不一定优。预处理 \(f_{i,s}\) 表示第 \(i\) 个项目从 \(j\) 开始匹配程序员，最少要匹配到哪里。
5.17
CF249D
\(j\) 贡献到 \(i\) 满足 \(x_j<x_i,y_i\times b-x_i\times a>y_j\times b-x_j\times a,y_i\times d-x_i\times c<y_j\times d-x_j\times c\)。发现第一个限制无用，随便维护。
5.20
CF79D
异或差分后 \(2k\) 个关键位置，状压。\(u,v\) 最短路等于同时删 \(u,v\) 的代价。
CF626F
\(dp_{i,j,k}\) 表示分了前 \(i\) 人，\(j\) 组没封闭，代价为 \(k\)。按权值从小到大加入，每个人代价是所有没封闭的组的数量乘相邻两个权值的差。
5.21
CF1575E
点分治，记录当前子树到分治中心的权值和和换车次数。将新子树的答案合并时分类讨论分治中心到子树祖先 \(u\to v\) 的颜色。树状数组维护前缀和。
agc035d
向距离为 \(\sqrt d\) 的点连边，为二分图。写为 \((2^ka,2^kb)\)，\(a\times b \mod 4=1/2\)。在两个 \(4n^2\) 个点的图上分别二分图染色，一定存在 \(n^2\) 个在两张图上都同色的点。
QTREE6
树剖，对每个点维护当 \(u\) 为 0/1 时 \(u\) 子树内的最大连通块大小。还需要支持询问 \(u\) 到根第一个与 \(u\) 异色的点的位置，线段树上维护区间从右往左第一个 0/1 的位置。
5.22
agc014e
每次选择只被覆盖一次的边删掉。树剖，线段树维护覆盖次数的最小值和位置，以及用异或维护覆盖这条边的红边编号。
P5354
按二进制拆位贪心，树剖维护从左右进入 0/1 出来的值。压位用位运算一起做。
CF603E
等价于只存在大小为偶数的连通块。按权值排序加边，维护奇连通块的个数。
线段树分治，每条边都有一个影响范围。从右往左分治，每次右移加边的位置。
