SAM 做题记录
1.基本
SAM 能表示某个字符串的所有子串，且正好是所有子串。
int len[maxn],lnk[maxn];
int a[maxn][26];
int p=1,cur=1;
int ed[maxn];
void insert(int c){
int nd=++cur;
len[nd]=len[p]+1;
while(p&&!a[p][c])a[p][c]=nd,p=lnk[p];
if(!p){lnk[p=nd]=1;return ;}
int q=a[p][c];
if(len[p]+1==len[q])lnk[nd]=q;
else{
int cl=++cur;
len[cl]=len[p]+1;lnk[cl]=lnk[q];
memcpy(a[cl],a[q],sizeof(a[q]));
lnk[nd]=lnk[q]=cl;
while(p&&a[p][c]==q)a[p][c]=cl,p=lnk[p];
}
p=nd;
}
2.应用
P3804
求子串出现次数乘上子串长度的最大值。
每个节点对应多个子串，最长的长为 \(len_u\)。节点的 endpos 大小为出现次数。
先把每个前缀所属的点的 siz 设为 \(1\)，这些点是前缀对应 edp 在 parent tree 上出现的最深的点，因为无法在这些前缀前面加东西。parent tree 上求和即可。
int siz[maxn];
void insert(int c){
int nd=++cur;
a[nd].len=a[p].len+1;
siz[nd]=1;
...
}
void dfs(int u){
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
dfs(v);
siz[u]+=siz[v];
}
}
int calc(){
int res=0;
for(int i=2;i<=cur;i++)add(a[i].lnk,i);
dfs(1);
for(int i=2;i<=cur;i++)if(siz[i]>1)res=max(res,siz[i]*a[i].len);
return res;
}
P2408
不同子串个数。
1.dp
在后缀自动机上从根节点开始的每一条路径都是一个子串，求出路径数量，便可以求出子串数。建 SAM dp。
void dfs(int u){
if(dp[u])return ;
dp[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;dfs(v);
dp[u]+=dp[v];
}
}
2.定义
SAM 一个节点对应的长度分别算贡献。parent tree 上，\(minlen_u=maxlen_{lnk_u}+1\)。对于每个 \(i\)，\(ans=ans+len_u-len_{lnk_u}\)。
for(int i=1;i<=n;i++)insert(c[i]-'a'),ans+=len[p]-len[lnk[p]];
对于每个 \(i\) 输出答案：P4070
P3975
字典序第 \(k\) 小子串。
\(siz_i\) 表示 \(i\) 所对应字符串集合的出现次数。\(t=0\) 时 \(siz_i=1\)；\(t=1\) 时 dfs 沿 parent tree 累加。dp 方案数。沿 SAM 走，走的边为答案。
SP1811
两个字符串的最长公共子串长度。
对 \(s\) 建 SAM，在上面匹配 \(t\)。当前节点为 \(p\)，已匹配长度为 \(l\)。对于当前字符 \(c\)。
-
如果 \(p\) 有出边 \(c\)，\(p=a_{p,c}\)，\(l\) 加 \(1\)。
-
否则向上跳 \(p=lnk_p\)，\(l\) 减 \(1\)，当 \(l=0\) 结束。
void go(int &p,int c,int &l){
while(1){
if(a[p][c]){
p=a[p][c],l++;
break;
}
if(!l)break;
l--;
if(l==len[lnk[p]])p=lnk[p];
}
}
P5546
\(n\) 个字符串的最长公共子串长度。
以 \(s_1\) 为匹配串，\(s_i\) 建 SAM。令 \(sl_j\) 表示 \(s_1[1...j]\) 能匹配的最长长度，每个 \(s_i\) 取 min。最后对所有 \(j\) 取 max。
CF235C
求每个询问串的所有循环同构在主串中出现的次数总和。
向后遍历同上题，现在需要删掉开头。
删除开头 \(l\) 减 \(1\)，如果 \(l=len_{lnk_p}\)，那 \(p\) 就不能再在这个节点，\(p=lnk_p\)。
void del(int &pos,int &l,int n){
if(l>n&&--l==len[lnk[pos]])pos=lnk[pos];
}
P6640
询问 \(s[l...r]\) 和 \(t\) 的最长公共子串长度。
对 \(t\) 建 SAM，\(s\) 跑匹配，\(sl_i\) 为 \(s[1...i]\) 的最长匹配长度。
拆开 min。找出 \(sl_i\leq i-l+1\)，\(i-sl_i+1\) 单调。二分 \(mid\) 使 \([l,mid-1]\) 中取 \(i-l+1\)，\(ans=mid-l\)；\([mid,r]\) 中取 \(sl_i\) ，维护静态区间最大。
P4094
子串 \(s[a...b]\) 的所有子串和 \(s[c...d]\) 的最长公共前缀的长度的最大值。
二分答案 \(mid\)，询问 \(s[c...c+mid-1]\) 是否在 \(s[a...b]\) 中出现。设节点 \(p\) 表示 \(s[c,c+mid-1]\)，问 \(p\) 的 endpos 是否在 \([a+mid-1,b]\) 中有元素。
记录 \(p\) 表示 \(s[1...i]\)，倍增 parent tree 跳到 \(len_p\leq mid\)。动态开点线段树合并 endpos 集合。
注意，是在 DAG 上线段树合并，不能破坏原有结构，新建点。
int n,m;
char c[maxn];
namespace sgt{
#define mid (l+r>>1)
#define ls lc[nd]
#define rs rc[nd]
bool tree[maxn<<5];
int lc[maxn<<5],rc[maxn<<5];
int rt[maxn],idx;
void updata(int &nd,int l,int r,int p,int w){
if(!nd)nd=++idx;
if(l==r){tree[nd]=w;return ;}
if(p<=mid)updata(ls,l,mid,p,w);
else updata(rs,mid+1,r,p,w);
tree[nd]=tree[ls]|tree[rs];
}
int merge(int u,int v,int l,int r){
if(!u||!v)return u|v;
int nd=++idx;
if(l==r){tree[nd]=tree[u]|tree[v];return nd;}
ls=merge(lc[u],lc[v],l,mid);
rs=merge(rc[u],rc[v],mid+1,r);
tree[nd]=tree[ls]|tree[rs];
return nd;
}
bool query(int nd,int l,int r,int ql,int qr){
if(l>=ql&&r<=qr)return tree[nd];
if(qr<=mid)return query(ls,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid)return query(rs,mid+1,r,ql,qr);
return query(ls,l,mid,ql,qr)|query(rs,mid+1,r,ql,qr);
}
#undef mid
}
struct sam{
int head[maxn],tot;
struct edgend{
int nxt,to;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v){e[++tot]={head[u],v};head[u]=tot;}
int f[maxn][19];
void dfs(int u){
for(int i=1;i<19;i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
f[v][0]=u;dfs(v);
sgt::rt[u]=sgt::merge(sgt::rt[u],sgt::rt[v],1,n);
}
}
void build(char *c,int n){
for(int i=1;i<=n;i++)insert(c[i]-'a');
for(int i=1,nd=1;i<=n;i++){
nd=a[nd][c[i]-'a'];
ed[i]=nd;
}
for(int i=2;i<=cur;i++)add(lnk[i],i);
dfs(1);
}
int find(int l,int r){
int res=ed[r];
for(int i=18;~i;i--)if(f[res][i]&&len[f[res][i]]>=r-l+1)res=f[res][i];
return res;
}
}s;
bool check(int a,int b,int l,int r){
int pos=s.find(l,r);
return sgt::query(sgt::rt[pos],1,n,a+r-l,b);
}
P5576
P5546 做区间询问。
选 \(s\) 作为文本串对其他所以 \(t\) 建的 SAM 匹配。复杂度 \(O(|s|n)\)，\(\sum |s|\) 为定值，\(|s|\) 越小越好。
猫树分治 \(S(l,r,ql,qr)\)，选最小的 \(s_k\) 处理跨过 \(k\) 的询问。\(s_k\) 过长复杂度退化，不能取中点分治。
取阈值 \(lim\)，长度小于 \(lim\) 的为短串，在短串中取中心。如果没有短串，\(lim=lim\times 2\)。对于 \(lim\)，最多分治 \(\log n\) 次，区间大小 \(\frac{\sum len}{lim}\)，匹配串 \(s\) 长 \(lim\)。共 \(\log {\sum len}\) 种 \(lim\)，复杂度 \(O(\sum len+m)\log n\log len\)。
开一个大数组，然后用指针标记位置。
int _sl[maxn],*sl[maxn],*sum;
void sovle(int l,int r,int ql,int qr,int lim){
if(ql>qr)return ;
int tot=0;
while(1){
for(int i=l;i<=r;i++)if(siz[i]<=lim)tmp[++tot]=i;
if(tot)break;lim<<=1;
}
int mid=tmp[1+tot>>1],qmid=ql-1;
sum=_sl;
for(int i=l;i<=r;i++){
sl[i]=sum;
sum+=siz[mid]+1;
}
for(int j=0;j<siz[mid];j++)sl[mid][j]=j+1;
for(int i=mid+1;i<=r;i++){
int p=rt[i],d=0;
for(int j=0;j<siz[mid];j++){
int c=s[mid][j]-'0';
go(p,c,d);
sl[i][j]=min(sl[i-1][j],d);
}
}
for(int i=mid-1;i>=l;i--){
int p=rt[i],d=0;
for(int j=0;j<siz[mid];j++){
int c=s[mid][j]-'0';
go(p,c,d);
sl[i][j]=min(sl[i+1][j],d);
}
}
int tr=0;
for(int i=ql;i<=qr;i++){
int u=id[i];
if(qq[u].r<mid)id[++qmid]=u;
else if(qq[u].l>mid)tmp[++tr]=u;
else{
for(int j=0;j<siz[mid];j++)ans[u]=max(ans[u],min(sl[qq[u].l][j],sl[qq[u].r][j]));
}
}
for(int i=1;i<=tr;i++)id[qmid+i]=tmp[i];
qr=qmid+tr;
sovle(l,mid-1,ql,qmid,lim);sovle(mid+1,r,qmid+1,qr,lim);
}
CF666E
求 \(s[pl,pr]\) 在 \(T[l,r]\) 中哪个串出现次数最多。
对 \(t\) 建广义 SAM，\(s\) 在上面跑匹配。如果 \(s[pl,pr]\) 在 \(t\) 中出现，倍增找到 \(s[pl,pr]\) 对应的节点。每个节点动态开点线段树，下标为 \(t\) 的编号，记录出现次数最大值和下标，线段树合并。
P4248
\(t_i=s[i,n]\)。求 \(\sum_{i<j}len_{t_i}+len_{t_j}-2\times lcp(t_i,t_j)\)。
\(ans=\frac{n\times (n-1)\times (n+1)}{2}-2\times \sum_{i<j} lcp(t_i,t_j)\)。lcp 看作公共前缀数量。记 \(siz_u\) 表示节点 endpos 集合大小，对每个节点计算贡献，有 \(num_u=len_u-len_{fa_u}\) 个串，每个串出现在 \(siz_u\) 个后缀的前缀中，贡献 \(num_u\times \frac{siz_u\times (siz_u-1)}{2}\)。
P2178
翻转建 SAM，lcp 转换为最长公共后缀，即 parent tree 上的 lca 的 len。
P7361
求 \([l,r]\) 中出现至少两次的子串的最长长度。
用 set 启发式合并 edp 集合，一个长度的贡献为相邻的 edp 点。贡献为 \(min(pl-l+1,len)\)。离线，扫描线。
