P5344 题解
思路
把图建出来跑 dij 即可。
对于建图，可以想到对每个操作 \(1\) 建一个虚点，从 \(u1\) 到 \(v1\) 向虚点连代价为 \(w\) 的边，从虚点向 \(u2\) 到 \(v2\) 连代价为 \(0\) 的边。此时图中有 \(n\times m\) 条边，无法接受，考虑优化建图。
按照线段树优化建图的思路，可以想到先树剖建线段树，\(in\) 表示从上往下，\(out\) 表示从下往上。把每条边变为多条链在线段树上分别建边。每条边有 \(\log n\) 条链，每条链建 \(\log n\) 条边，最短路 \(O(m\log n)\)，总复杂度 \(O(m\log^3 n)\)。
可以发现，通过树剖把树结构变为数组再优化并非最好，因为放弃了树形结构多了两个 \(\log n\)。可以树上倍增优化。
对于每个点 \(u\) 建 \(\log n\) 个虚点，记为 \(in_{u,i}\) 和 \(out_{u,i}\)，表示从 \(u\) 到往上 \(2^i\) 级祖先的链， \(in\) 和 \(out\) 同理线段树优化建图，表示从上往下或从下往上。
和 st 表的查询一样，\(u\) 到 \(u\) 的祖先 \(v\) 的路径可以表示为 \(u\) 的第 \(k\) 个虚点和使 \(2^k\) 级祖先为 \(v\) 的某个 \(u\) 的祖先的第 \(k\) 个虚点。把 \(u1\) 到 \(v1\) 的路径向虚点连边，等同于把 \(u1\) 到 lca 和 \(v1\) 到 lca 分别向虚点连边。
每个点 \(u\) 有 \(\log n\) 个虚点，倍增时每个虚点向上一级连 \(2\) 条边。每个操作有 \(1\) 个虚点，分为 \(4\) 部分，每部分向虚点连 \(2\) 条边。这样一共有 \(n\log n+m\) 个点和 \(n\log n+m\) 条边。总复杂度 \(O(m\log n)\)。
code
int n,m,s,num;
int f[maxn];
int fd(int x){
if(x==f[x])return x;
return f[x]=fd(f[x]);
}
struct ask{
int u,v,uu,vv,w;
}a[maxm];
int cnt;
int head[maxm*3],tot;
struct nd{
int nxt,to,w;
}e[maxm*12];
void add(int u,int v,int w){
e[++tot]={head[u],v,w};
head[u]=tot;
}
int dep[maxn],to[maxn][20];
int in[maxn][20],out[maxn][20];
void dfs(int u,int fa){
to[u][0]=fa;in[u][0]=out[u][0]=u;
for(int i=1;(1<<i)<dep[u];i++){
to[u][i]=to[to[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
in[u][i]=++num;out[u][i]=++num;
add(out[u][i-1],out[u][i],0);
add(in[u][i],in[u][i-1],0);
add(out[to[u][i-1]][i-1],out[u][i],0);
add(in[u][i],in[to[u][i-1]][i-1],0);
}
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(v!=fa&&v<=n){
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v,u);
}
}
}
int lg[maxn];
int lca(int u,int v){
if(u==v)return u;
if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
for(int i=lg[dep[u]];i>=0;i--)if(dep[to[u][i]]>=dep[v])u=to[u][i];
if(u==v)return u;
for(int i=lg[dep[u]];i>=0;i--)if(to[u][i]!=to[v][i])u=to[u][i],v=to[v][i];
return to[u][0];
}
int kfa(int u,int k){
int j=0;
while(k){
if(k&1)u=to[u][j];
k>>=1;
++j;
}
return u;
}
void build(int u,int v,int w,int t){
int k=lg[dep[u]-dep[v]+1];
if(!t)add(out[u][k],num,w);
else add(num,in[u][k],w);
u=kfa(u,dep[u]-dep[v]+1-(1<<k));
if(!t)add(out[u][k],num,w);
else add(num,in[u][k],w);
}
int dis[maxm*3];
bool vis[maxm*3];
struct Dis{
int dis,id;
bool operator <(const Dis&tmp)const{return dis>tmp.dis;}
};
priority_queue<Dis> q;
int T;
signed main(){
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n=read();m=read();s=read();
lg[1]=0;for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
while(m--){
int opt,u,v,w,uu,vv;opt=read();
if(opt==1){
u=read();v=read();uu=read();vv=read();w=read();
if(fd(u)!=fd(v)||fd(uu)!=fd(vv))continue;
a[++cnt]={u,v,uu,vv,w};
}
else{
u=read();v=read();w=read();
if(fd(u)==fd(v))continue;
add(u,v,w);add(v,u,w);
f[fd(u)]=fd(v);
}
}
num=n;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dep[i]){
dep[i]=1;
dfs(i,0);
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
num++;
int tp1=lca(a[i].u,a[i].v),tp2=lca(a[i].uu,a[i].vv);
build(a[i].u,tp1,0,0);build(a[i].v,tp1,0,0);
build(a[i].uu,tp2,a[i].w,1);build(a[i].vv,tp2,a[i].w,1);
}
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[s]=0;q.push({0,s});
while(!q.empty()){
int u=q.top().id;q.pop();
if(vis[u])continue;
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
dis[v]=dis[u]+e[i].w;
q.push({dis[v],v});
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(dis[i]>=0x3f3f3f3f)printf("-1 ");
else printf("%d ",dis[i]);
}
}
