CF1823F 题解
思路
设 \(f_u\) 表示经过 \(u\) 的期望次数。\(f_u\) 的值是所有与 \(u\) 有边的点 \(v\) 的答案 \(f_v\) 除以走向 \(u\) 的概率 \(\frac{1}{d_v}\)。
\[f_u=[u=s]+\sum_{(u,v)\in E,v\neq t}\frac{f_v}{d_v}
\]
\[f_t=1
\]
问题是 \(f_u\) 的值可以从 \(fa\) 得来，转移成环。直接高斯消元 \(O(n^3)\)，但是没有用到树的性质。成环是因为有来自父亲的转移，但根节点没有。设 \(f_u=a_u\times f_{fa}+b_u\)，带入 dp 方程。
\[f_u=[u=s]+\frac{f_{fa}}{d_{fa}}+\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{f_v}{d_v}
\]
\[f_u=[u=s]+\frac{f_{fa}}{d_{fa}}+\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{a_v\times f_u+b_v}{d_v}
\]
\[(1-\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{a_v}{d_v})\times f_u=[u=s]+\frac{f_{fa}}{d_{fa}}+\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{b_v}{d_v}
\]
\[f_u=\frac{\frac{1}{d_{fa}}}{(1-\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{a_v}{d_v})}\times f_{fa}+\frac{[u=s]+\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{b_v}{d_v}}{(1-\sum_{(u,v)\in E,v\neq t,v\neq fa}\frac{a_v}{d_v}}
\]
对比系数，只与 \(u\) 的儿子有关，解出 \(a_u,b_u\)。再从跟从上往下推一遍。注意到 \(v\neq t\) 很烦，直接把 \(t\) 设为跟。
code
int n,s,t;
int head[maxn],tot;
struct nd{
int nxt,to;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v){e[++tot]={head[u],v};head[u]=tot;}
inline int ksm(int a,int b=mod-2){
int ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
int d[maxn],f[maxn],a[maxn],b[maxn];
void dfs(int u,int fa){
int val=1;b[u]=(u==s);
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;if(v==fa)continue;
dfs(v,u);
val+=mod-a[v]*ksm(d[v])%mod;
b[u]+=b[v]*ksm(d[v])%mod;
}
val%=mod;b[u]%=mod;
a[u]=ksm(val*d[fa]%mod);if(fa==t)a[u]=0;
b[u]=ksm(val)*b[u]%mod;
}
void dfs1(int u,int fa){
f[u]=(a[u]*f[fa]+b[u])%mod;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].to;if(v==fa)continue;
dfs1(v,u);
}
}
void work(){
n=read();s=read();t=read();
for(int i=1;i<n;i++){
int u=read(),v=read();
add(u,v),add(v,u);
++d[u],++d[v];
}
dfs(t,0);
f[t]=1;dfs1(t,0);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",f[i]);
}
