CF1696E 题解

CF1696E

思路

数学题。

答案是唯一的。操作过程从左上到右下不可逆。每个点操作次数的贡献即每个点数的最大值。

类似于递推：

$$d{p}_{i,0}=d{p}_{0,i}=1$$

$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i,j-1}$$

则答案为划定范围内所有 $dp$ 数组值的和。

但这样是 $O(n^2)$ 的。

又发现斜着看这其实是杨辉三角。

$$C_{i+j}^i=d{p}_{i,j}$$

$$ans=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{a_i-1}{C}_{i+j}^i=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{a_i-1}d{p}_{i,j}$$

经过打表和 OEIS，发现：

$$\sum _{j=0}^{a_i-1}d{p}_{i,j}=d{p}_{i+1,a_i-1}$$

补证明：

$$\sum _{j=0}^{a_i-1}d{p}_{i,j}=d{p}_{i,0}+\sum _{j=1}^{a_i-1}d{p}_{i,j}=d{p}_{i+1,0}+\sum _{j=1}^{a_i-1}d{p}_{i,j}=d{p}_{i+1,a_i-1}$$

于是可以 $O(n)$。

code

int n,a[maxn],ans;
int pw[maxn],inv[maxn];
inline int ksm(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int C(int m,int n){
	return pw[m]*inv[n]%mod*inv[m-n]%mod;
}

signed main(){
	n=read();
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=read();
	pw[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxn-10;i++)pw[i]=pw[i-1]*i%mod,inv[i]=ksm(pw[i],mod-2);
	for(int i=0;i<=n;i++)ans+=C(a[i]+i,i+1),ans%=mod;
	printf("%lld\n",ans);
}