「2020-2021 集训队作业」A story of The Small P
题意
给定 \(N, m, k\) ,求有多少个正整数序列 h 满足：
- h 的长度 \(n\) 满足 \(1\leq n\leq N\)。
- \(1\leq h_i\leq m\)。
- 正好存在 \(k\) 个 \(i\) 满足 \(h_i<h_{i+1}\)。
答案模 \(998244353\)。
\(2\leq N, m, k\leq 2^{19},(N-k+1)\times m\leq 2^{20}\)。
思路
先想 dp 。求的可以看成有 \(n−1−k\) 个位置不满足的序列个数。
因为 \((N − k + 1)\times m\leq 2^{20}\)，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个值，有 \(j\) 个不满足,结尾为 \(k\)。
\(dp_{i,j,k}\) 的值转移到 \(dp_{i+1,j,l},k\leq l\) 和 \(dp_{i+1,j+1,l},j<m\)。
令 \(s=j\times m+k\)，则 \(dp_{i,s}\) 可以转移到 \(dp_{i+1,s1},s+1\leq s1\leq s+m\)。
写成生成函数。\(dp_i=(x+...+x
^m)^i\)。\(dp_{i,s}\) 即为 \(dp_i\) 在 \(x^s\) 处的系数。
对于一个长度小于 \(N\) 的序列，在后面补上 \(N−n\) 个不满足。
可以写成：
\[\sum_{i=1}^N{((x+...+x^m)^i\times (x^m)^{N-i})}
\]
\[=\frac{(x+...+x^m-x^m)\times \sum_{i=1}^N{((x+...+x^m)^i\times (x^m)^{N-i}})}{x+...+x^{m-1}}
\]
\[=\frac{\sum_{i=1}^N{((x+...+x^m)^{i+1}\times (x^m)^{N-i}}-(x+...+x^m)^i\times (x^m)^{N-i+1})}{x+...+x^{m-1}}
\]
\[=\frac{(x+...+x^m)^{N+1}-(x+...+x^m)\times (x^m)^{N+1}}{x+...+x^{m-1}}
\]
\[=\frac{(x+...+x^m)^{N+1}-(x^m)^{N+1}}{x+...+x^{m-1}}-(x^m)^N
\]
\[=x^N\times \frac{(1+...+x^{m-1})^{N+1}-(x^{m-1})^{N+1}}{1+...+x^{m-2}}-(x^m)^N
\]
而答案即为 \(x^{(N−1−k)∗m+1}...x^{(N−k)∗m}\) 项的系数之和。
设 \(G(x)=1+...+x^{m-1},F(x)=G(x)^{N+1}=\sum{(f_i\times x^i)}\)。
\[F'(x)=(N+1)G'(x)G(x)^N
\]
\[F'(x)G(x)=(N+1)G'(x)F(x)
\]
\[F'(x)=\sum i\times f_i\times x^{i-1}
\]
\[G'(x)=\sum_{i=0}^{m-2}{(i+1)\times x^i}
\]
对于 \(x^n\) 对比系数：
\[\sum_{i=0}^{m-1}{(n-i+1)\times f_{n-i+1}}=\sum_{i=0}^{m-2}{(i+1)\times f_{n-i}}
\]
\[(n+1)f_{n+1}=\sum_{i=1}^{m-1}{((N+2)\times i-n-1)f_{n-i+1}}
\]
\[f_i=((n+2)\times ((i\times \sum_{j=1}^{m-1}{f_{i-j})}-\sum_{j=1}^{m-1}{((n-j+1)\times f_{n-j+1}}))-i\times \sum_{j=1}^{m-1}{f_{n-j+1}})\times inv_i
\]
前缀和转移。
到这里可以算出 \((1+...+x^{m-1})^{N+1}-(x^{m-1})^{N+1}\) 的系数。
处理除法。
设 \(g(x)=\frac{1}{1+...+x^{m-1}}=\sum (g_i\times x^i)\)。
\[g_0=1
\]
对于 \(x^n\) 对比系数：
\[\sum_{i=0}^{m-1}{g_{n-i}}=0
\]
\[g_i=\sum_{i=1}^{m-2}{g_{i-j}}
\]
答案即为 \(F(x)\times g(x)\) 的 \(x^{(N−1−k)∗m+1-N}...x^{(N−k)∗m-N}\) 项系数和。
对于每个 \(f_i\) 计算贡献：
\[ans=\sum_i {((\sum_{j=(N-k)\times m+1-i-N}^{(N-k)\times m+m-i-N}{g_j})\times f_i)}
\]
end.
