arc162f 题解

arc162f

思路

\(a_{x1,y2}\times a_{x2,y2}\leq a_{x1,y2}\times a_{x2,y1}\) 改为所有 \(a_{x1,y1}=a_{x2,y2}=1\)，都有 \(a_{x1,y2}=a_{x2,y1}=1\)。

观察发现，第 \(i\) 行 \(a_{i,j_1}=\ldots =a_{i,j_{num}}=1,(j_1<\ldots <j_{num})\)，第 \(ii,(ii>i)\) 行能取 \(1\) 的位置是 \([1,j_1-1]\) 和 \(j\) 的一个前缀。形如：

000010110
000010100
010110100
000000000
100000000

但可以空一些行和列，不方便，考虑将所有有 \(1\) 的行和列压起来。设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 行，有 \(j\) 个列有过 \(1\)，当前行选 \(k\) 个，强制连续选。首先可以取一个前缀，\(dp'_{i,j,k}=\sum_{l=k}^j dp_{i-1,j,l}\)，后缀和维护。其次可以向前在 \([1,j_1-1]\) 任意取，但强制连续选，枚举选 \(l\) 个，\(dp_{i,j,k}=\sum_{l=0}^k dp'_{i,j-l,k-l}\)，维护一个斜线的前缀和。

计算答案，对于每个 \(dp_{i,j,k}\)，\(n\) 行选 \(i\) 行，\(m\) 列选 \(j\) 列，其他放 \(0\)，\(ans=\sum \binom{n}{i}\times \binom{m}{j}\times dp_{i,j,k}\)。再加上全取 \(0\) 的情况。

注意取模优化和枚举时 \(\frac{1}{2}\) 的常数。

code

	for(int i=1;i<=m;i++)dp[i][i]=1,ans=add(ans,C(m,i)*C(n,1)%mod);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=j;~k;k--)f[j][k]=add(f[j][k+1],dp[j][k]);
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=j;k++)f[j][k]=add(f[j][k],f[j-1][k-1]);
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=j;k++){
				dp[j][k]=f[j][k];
			}
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=j;k++){
				ans=add(ans,C(m,j)*C(n,i)%mod*dp[j][k]%mod);
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",ans+1);