abc238g 题解

abc238g

思路

莫队 \(O(n\sqrt n\log a_i)\)。

哈希。

把 \(a_i\) 质因数分解，指数模 \(3\)。直接乘过大，考虑哈希。每个质数的指数和都因为 \(3\) 的倍数。

即：所有数的出现次数和是否都为 \(k\) 的倍数。

法一：前缀和。给每个质数随机 \(val_i\)，\(a_i=\sum val_p\)，做前缀和。如果是完全立方数可推出 \(sum_r-sum_{l-1}\mod 3=0\)。因为对 \(k\) 取模，所以 \(val_p\) 可看作从\([0,k-1]\) 中随机。显然只做一次是不行的，重复 \(b\) 次。可以大概认为单次正确率为 \(\frac{1}{k}\)，一道题正确率 \((1-(\frac{1}{k})^b)^{qT}\)，\(T\) 是测试点数。

法二：异或。给每个质数随机 \(val_{i,0}\) 到 \(val_{i,k-2}\) 共 \(k-1\) 个值，令 \(val_{i,k-1}=\oplus_{j=0}^{k-2} val_{i,j}\)。从前往后，如果当前 \(a_i\) 有质因数 \(p\) 且 \(p\) 在 \(a_i\) 前已经出现 \(num_p\) 次，\(num_p\) 对 \(k\) 取模，\(hsh_i\) 异或上 \(val_{p,num_p}\)。做前缀异或和，如果是完全立方数可推出 \(sum_r\oplus sum_{l-1}=0\)。因为是异或，所以错误率极低。

法一适合 \(k\) 较大，法二适合 \(k\) 较小，代码用法二。

另外，既然不用莫队，可以把复杂度优化到 \(O(n\log n)\)，筛质数的时候记录 \(g_i\) 表示 \(i\) 最小的质因数。

code

int n,m;
int pre[maxn],cnt;
int g[maxn],f[maxn];
bool vis[maxn];
int val[maxn][3],num[maxn];
void s(int n){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			pre[++cnt]=i;g[i]=i;
			val[i][0]=rand()*rand()%inf;
			val[i][1]=rand()*rand()%inf;
			val[i][2]=val[i][0]^val[i][1];
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pre[j]<=n;j++){
			vis[i*pre[j]]=1;g[i*pre[j]]=pre[j];
			if(i%pre[j]==0)break;
		}
	}
}
void work(){
	srand(time(0));
	n=read();s(maxn-10);m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read();
		while(g[x]){
			f[i]^=val[g[x]][num[g[x]]%3];
			num[g[x]]++;
			x/=g[x];
		}
//		cout<<f[i]<<" ";
		f[i]^=f[i-1];
	}
	while(m--){
		int u=read(),v=read();
		if((f[v]^f[u-1])==0)printf("Yes\n");
		else printf("No\n");
	}
}