abc146e 题解

abc146e

思路

由题，\(k\mid (a_l+a_{l+1}+...+a_{r-1}+a_r)-(r-l+1)\)，可以转换为平均每个数在模 \(k\) 下都贡献了 \(1\)。所以对区间每个数都减 \(1\)，则长度为 \(len\) 的区间和减了 \(len\)，此时如果区间和为 \(k\) 的倍数则符合条件。

预处理对 \(k\) 取模的前缀和 \(sum_i\)，如果 \(sum_{l-1}=sum_r\)，则区间 \([l,r]\) 符合条件。又因为 \(r-l+1<k\)，所以 \(r-(l-1)+1\leq k\)。

所以 \(i\) 的 \(sum_i\) 对答案的贡献为 \(i-k+1\leq j\leq i-1\) 中与 \(sum_i\) 相等的 \(sum_j\) 的个数。

\(sum_i\) 值域大，不能用桶处理。用 map 处理，删除 \(sum_{i-k}\) 过期的，统计答案，加入 \(sum_i\)。

注意最开始的 \(sum_0=0\) 也要算。

code

int n,k,a[maxn];
map<int,int> mp;
int ans;

int T;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);

	n=read();k=read();
	mp[0]++;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		a[i]+=k-1;a[i]%=k;//a[i]+k-1=a[i]-1，在模 k 时。
		a[i]+=a[i-1];a[i]%=k;
		if(i>=k)mp[a[i-k]]--;
		ans+=mp[a[i]];
		mp[a[i]]++;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}