P4778 题解

P4778

240229 模拟赛 T1 序列（sequence） 的第二问。

题意

求一个排列每次交换两个位置变成 \(1\dots n\) 的方案数。

思路

分开考虑每个环。设 \(f_i\) 表示大小为 \(i\) 的环的答案。每交换一次就将一个环分为两个环。枚举分成的较小的一边是什么，乘两边单独的方案数，两边独立乘一个组合数，选两个一定距离的点乘 \(i\) 或 \(\frac{i}{2}\)。

有 \(O(n^2)\) 递推式：

\[f_i=\sum_{j=1}^{\frac{i}{2}}f_j\times f_{i-j}\times \binom{i-2}{j-1}\times (\frac{i}{2}\times [j=\frac{i}{2}]+i\times [j\ne \frac{i}{2}]) \]

打表发现 \(f_i=i^{i-2}\)。

大概是钦定 \(1\) 为根，枚举 \(2\) 的子树大小，乘两边独立的方案数，乘分配编号的组合数。如果 \(1\) 和 \(2\) 分别有 \(\frac{i}{2}\) 的子树，那就取消 \(1\) 和 \(2\) 间的区别。所以等价于有标号无根树计数。