2024.3 做题记录

二月没写

3.01

P3379

先考虑完全二叉树的 lca 求法。中序遍历分配编号。设第 \(k\) 位是 \(u\oplus v\) 最左边的 \(1\)，则 \(lca(u,v)\) 是 \(u,v\) 的 \(k\) 位以左、第 \(k\) 位是 \(1\)，\(k\) 位以右是 \(0\)。

将树上 lca 转到完全二叉树上。先序遍历，设 \(h_u\) 表示 \(dfn_u\) 的末尾连续 \(0\) 数，\(l_u\) 表示 \(u\) 子树内最大 \(h_u\) 的值，\(mx_u\) 表示 \(l_u\) 对应的 \(dfn_u\) 。相等的 \(mx_u\) 形成若干条链。有若 \(tp\) 是 \(u\) 的祖先，\(mx_{tp}\) 是 \(mx_u\) 完全二叉树中的祖先。

\(mx_{tp}\) 是 \(mx_u,mx_v\) 的公共祖先。树上根到节点路径上 \(l_u\) 单调不降，但在树上的 \(mx_u\) 值不连续。设 \(a_u\) 表示从根到 \(u\) 哪些 \(l_u\) 值存在。可以求出 \(mx_u\) 和 \(mx_v\) 在完全二叉树上的 lca 的末尾零数 \(d\)，在 \(a_u\) 和 \(a_v\) 中都出现的最小的 \(s\ge d\) 就是 \(mx_{tp}\) 的末尾零数。

每种 \(mx_u\) 值都会形成一条链。找到 \(u,v\) 到链 \(mx_{tp}\) 上的最近祖先深度较小的一个即为 lca。可以找到 \(a_u,a_v\) 中小于 \(s\) 的最大的 \(du,dv\)，这条链的链顶的父亲在链 \(mx_{tp}\) 上。

预处理 \(O(n)\)，查询 \(O(1)\)，空间 \(O(n)\)。理论上完全偏序所有 lca 算法。

3.05

CF671D

设 \(dp_{u,i}\) 表示覆盖完 \(u\) 子树，向上覆盖到深度 \(i\) 的最小代价。要求区间取 min，区间加，线段树合并。

CF1175G

\[dp_i=\min(f_j+(i-j)\times \max a_k) \]

cdq 分治。记 \(mx_i\) 表示 \((i,mid]\) 或 \([mid+1,i]\) 的 \(a_k\) 最大值。

\[dp_i=\min(f_j+(i-j)\times \max(mx_i,mx_j)) \]

分类讨论 \(mx_j\le mx_i\)：\(dp_i=\min(j\times (-mx_i)+f_j)+i\times mx_i\)。枚举 \(i\)，不断加入 \(j\)，单调栈维护一次函数 \(y=jx+f_j\)，斜率递减，查询的横坐标不增。反之同理。

3.06

CF1530H

时间倒流，第一次到达一个点写下数字。每次会往当前形成的段前后加数，需要花费时间跨越整个段。所以除了 \(a_n\) 可能不是 lis 以外，所有向左右拓展的数都是 lis 的一部分。设 \(f_{l,i}\) 表示当前有长为 \(l\) 的连续段，从后往前遍历到 \(i\) 且 \(a_i\) 填入最左时最右的最小值。\(g_{l,i}\) 相反。

\[f_{l,i}=\max(\max_{j>i\lor a_j>a_i} f_{l-1,j},\max_{j>i\lor g_{l-1,j}>a_i} a_j) \]

分类讨论 \(a_n\)，树状数组维护前缀 max 和后缀 min。

随机排列的 lis 期望长度为 \(O(\sqrt n)\)，复杂度 \(O(n\sqrt n\log n)\)。

3.07

P5044

设 \(dp_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 的答案。取 \(mid\) 为 \([l,r]\) 中最大 \(a_i\) 的位置。

\[dp_{l,r}=\min (dp_{l,mid}+(r-mid)\times a_{mid}+dp_{mid+1,r}+(mid-l+1)\times a_{mid}) \]

区间最大值有关的 dp，建出笛卡尔树。递归左右子树得到 \(dp_{l,i},l\le i\le mid\) 和 \(dp_{mid+1,i},mid+1\le i\le r\)，只考虑以树上节点对应的区间的 \(l\) 为左端点的 dp 值。将询问拆成 \([l,mid-1]\) 和 \([mid+1,r]\)，挂在 \(l=ql,r=mid\) 的节点，另一半反过来再做。

对于左端点在 \(l\) 且跨过 \(mid\) 的答案，min 左边增幅为 \(a_{mid}\)，右边小于等于 \(a_{mid}\)，单调。线段树维护，支持区间加一次函数，线段树上二分。

3.08

P3246

莫队。当向右拓展时，加上 \([l, r+1],\dotsb ,[r+1,r+1]\) 的贡献。设区间最小值位置为 \(p\)，\(p\) 以左加上 \(a_p\)。设 \(f_{l,r}\) 为以 \(r\) 为右端点，左端点在 \([l,r]\) 的贡献。\(pre_i\) 为 \(i\) 左边第一个比 \(a_i\) 小的位置。

\(f_{l,r}=f_{l,pre_r}+a_r\times (r-pre_r)\)。与 \(l\) 无关，变成前缀和。

P5283

做前缀和。转换为选 \(2*k\) 个有序对的和最大值除以 \(2\)。将 \(a_0\dotsb a_n\) 插入 trie，对每个 \(i\) 求出第 \(num\) 大的 \(a_i xor a_j\)，扔进优先队列，取出时加入 \(num+1\) 大。

CF1253F

求出每个点到最近的关键的的距离 \(dis_u\)。能从 \(u\) 走到 \(v\) 则有 \(dis_u+dis_v+e_{u,v}\le c\)。建最小生成树，倍增求路径最大值。

3.09

CF1286E

维护当前 border 集合。从 \(i-1\) 的合法集合过来，如果 \(s_{x+1}\ne s_i\) 则删去，如果 \(s_i=s_1\) 则加入 \([i,i]\)。一共只有 \(O(n)\) 个 border。

考虑删除那些。对于每个节点每种颜色找出在 nxt 上，\(s_{x+1}=s_{i+1}\) 的最近祖先，把除了颜色 \(s_i\) 的一路跳上去删掉。末尾添数维护 st 表最小值计算删除的代价。每个删一次，复杂度 \(O(n\log n)\)。

对于合法的那些，权值对 \(a_i\) 取 min。用 map 维护每个权值的个数，将大于 \(a_i\) 的数量加进 \(a_i\)，每个权值操作一次，复杂度 \(O(n\log n)\)。

CF1202E

枚举分界点 \(p\)，以 \(p\) 结尾匹配 \(s_i\)，以 \(p+1\) 开始匹配 \(s_j\) 的方案数之积。建 ACAM，当前节点 fail 树到根的路径上的终止状态数为比配数，反转再做另一边。

CF1854D

可以 \(\log n=9\) 次二分出一个点走 \(k\) 步到哪里。有两种用法：求出走 \(n+1\) 步得到环上的某个点和走 \(1\) 步得到该点下一个点。

先找出一个点在 \(1\) 联通块的环上，在向下走 \(124\) 步找到环上连续的 \(125\) 个点。对剩下 \(375\) 个点找出 \(125\) 步到这 \(125\) 个点之一的点。这时至少已知环上连续的 \(250\) 个点，有一半的环已知，其他的点走 \(n+1\) 步或 \(n+1+250\) 步如果在联通块内则一定能到这一半的环。总步数 \(9\times 125+375+2\times 250=2000\)。

这么做的关键是环上连续点长度可以倍增，如果将 \(125\) 调小步数更少。

3.11

CF1916F

加强构造条件，改为：构造一个逐步染黑序列，使得每一时刻黑白导出子图都连通。每次选一个与黑色点有连边且不是白导出子图的割点的白点染黑。

证明一定有这样的点。找到白导出子图中只与一个割点相邻的块，如果黑导出子图与这个块没有连边，改割点是全图割点，但是原图是点双，矛盾。所有一定存在可以染的点。每次求割点，复杂度 \(O(nm)\)。

CF1218G

先猜测最后每个点权值 \(mod 3\)为集合编号。边权为 \(3\) 相当于删掉这条边。找出一颗生成树，从下往上定边权可以满足除根以外的所有点。再调整根。

如果存在一个奇环，将每条边权交替加 \(1\) 或 \(2\)，可以只改一个点，将根设在环上。否则二分图，左部为 \(1\)，右部 为 \(2\)，左部点为根，选出与根相连的两条边加一，\(w_{rt}=1,w_u=w_v=0\)。

3.12

[省选联考 2024] D1T2 魔法手杖

将 \(a_i\) 插入 01 trie，从高位到低位考虑。在第 \(dep\) 位，以前选的数 \(x\)，当前 \(S\) 集合中最小值 \(y\)，当前答案 \(z\)。记录 trie 节点 \(a\) 最小值和 \(b\) 的和。

如果填 \(x=0\)，左边小于右边。如果左边可以全部进入 \(S\)：如果左边进入后的 \(y\) 无论如何都没右边大，更新答案；否则更新 \(y\) 进入左边。否则：如果 \(y\) 无论如何都没有右边大，更新答案；否则右边最小，进入右边。

[省选联考 2024] D2T1 迷宫守卫

设 \(dp_{u,i}\) 表示节点 \(u\) 且第一个是 \(i\) 的最小代价，记录从什么转移而来。

\[dp_{u,\min(i,j)}=dp_{ls,i}+\min(a_u,dp_{rs,j}) \]

再 dfs 一边，可以花费代价调整一些选择升级答案。特别注意可以选择将选择 \(a_u\) 改为选择 \(dp_{rs,j}\)。

注意到合法状态 \(O(n2^n)\) 个，前后缀优化，复杂度 \(O(n2^n)\)。

3.13

CF1852E

把每个数记录为 \((l,r,x)\)，如果有包含更小的把更小的扔掉，BIT 维护。先考虑 \(ans_l=ans_r=x\)，再把每个点改为包含他的数的最大值。但是可能有不在原数组中的数，有且只有一个。从高到低枚举 \(x\)，取 \(nw\) 为小于 \(x\) 且不存在于原数组的最大数，如果 \(nw\) 的 \((l,r,nw)\) 被 \(x\) 的 \((L,R,x)\) 包含，就可以将 \([L,R]\) 中非端点的数改为 \(nw\)，算一下答案取 \(sum\) 最大的 \(nw\)。

CTT2021 D3T1 小明的树

每一个白点子树内的节点都是白点，等价于黑点形成联通块。树上联通块数等于点数减边数。白连通块数等于异色边数。

维护 \((x,v)\) 表示连通块数 \(x\)，权值为 \(v\)，求 \(x=1\) 时 \(\sum v\)。\(x_i\) 初始值取 \(n-i-(n-1)\)，对于一条边 \((u,v)\)，设 \(u\) 比 \(v\) 先遍历到，\(x_{t_u}\dotsb x_{n-1}\) 加 \(1\)，\(v_{t_u}\dotsb v_{t_v-1}\) 加 \(1\)。维护区间最小值大小、数量、权值和，区间加。

3.15

CF1930F

\[\max(\max(a_i \mathrm{or} x)-\min( a_i \mathrm{or} x))=\max(a_i \mathrm{or} a_j-a_j)=\max(a_i-a_i \mathrm{and} a_j) \]

从高往低贪心 \(\min x \mathrm{and} a_i\) 和 \(\max x \mathrm{or} a_i\)。维护当前 \(a_i\) 的超集和子集。

CF1236F

拆方差的期望：\(E((x-E(x))^2)=E(x^2-2xE(x)+E(x)^2)=E(x^2)-E(x)^2\)。

连通块数等于点数 \(v\) 减边数 \(e\) 加环数 \(c\)。

\[E(x^2)=E(a)^2+E(b)^2+E(c)^2-2E(ab)+2E(ac)-2E(bc) \]

CF1025G

鞅与停时。对于有 \(x\) 个儿子的点，设计函数 \(f_x\)。

\[f_x+f_y-1=\frac{1}{2}(x\times f_0+f_{y+1}+y\times f_0+f_{x+1}) \]

可以 \(O(n^3)\) 高斯消元。找规律令 \(x=y\)，

\[2\times f_x-1=x\times f_0+f_{x+1} \]

\(f_x=(x+1)\times f_0-2^x+1\)，且 \(f_{n-1}=0\)。

带回去发现符合条件。所以 \(f_A=\sum f_x\)。复杂度 \(O(n)\)。

CF1801E

并查集将相同的连在一起。总共有 \(n-1\) 个有效状态，只要没有重复做就可以。倍增 \(u\) 向上 \(2_i\) 个祖先的状态，分别考虑从下往上和从上往下。将两条路径拆为 \(3\) 段，每段倍增 \(O(\log n)\) 次合并。每次合并向下一层递归合并，如果已经是一个连通块的及时退出。复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

3.17

CF983D

离散化。对 X 轴扫描线，线段树维护 Y 轴区间。记录区间已选最小和未选最大，set 维护区间里所有的值。每次如果有未选最大大于已选最小，打标记，再做一次。复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

3.18

CF850F

设 \(f_i\) 为已有 \(i\) 个球为钦定颜色。

\[f_i=f_{i-1}\times \frac{i\times (sum-i)}{sum\times(sum-1)}+f_{i+1}\times \frac{(sum-i)\times i}{sum\times(sum-1)}+f_i\times(1-\frac{i\times (sum-i)}{sum\times(sum-1)})+v \]

其中 \(v\) 为当前局面钦定颜色成为最后颜色的概率，见 P5155。移项得 \(O(n)\) 递推式。答案为 \(\sum f_{a_i}\)。

CF1037G

对于每个区间算 SG 值，枚举删 \(c\)，转换为若干个子区间的 SG 异或，前缀和维护，复杂度 \(O(\mid \sum\mid)\)。考虑有用的区间，是两个相同字符间的一段以及前后缀。共 \(O(n\mid\sum\mid)\) 个区间，从小到大计算，复杂度 \(O(n\mid\sum\mid^2)\)。

3.19

CF319E

并查集维护强连通分量以及最左和最右。线段树 vector 维护节点对应的线段，每次加入一条线段，把之前线段经过当前左右端点的并入连通块，再把当前线段拆成 \(\log n\) 段扔进线段树节点。

CF547E

拆为对 \(s_{1\dotsb i}\) 询问 \(s_k\)。建 AC 自动机，把 \(s_i\) 每个前缀对应的状态加 \(1\)，求 fail 树上的子树和，dfn 序加树状数组。

CF587F

反过来，答案为将 \(s_k\) 每个前缀加 \(1\) 求 \(s_{l\dotsb r}\) 终止节点的 fail 子树和。

根号分治。对于大于 \(B\) 的串，先将 \(s_k\) 每个前缀对应位置加 \(1\)，此时每个 \(s_i\) 终止节点的子树和就是 \(s_i\) 的贡献，前缀和。复杂度 \(O(\frac{\mid S\mid^2}{B})\)。否则从 \(1\) 到 \(n\)，区间加单点查，dfn 序加树状数组，复杂度 \(O(qB\log {\mid S\mid})\)。

CF618F

加强构造条件，任意排序 A 和 B 一定有两个子段相等。即两对 \(a_i=b_j\)。

令 \(a_n<b_n\)。对于每个 \(i\) 找到最小的 \(b_j\ge a_i\)，有 \(b_j-a_i\in [0,n)\)。\(n+1\) 个数，值域为 \(n\)，一定存在相等。

3.20

CF924F

对于一个数字做背包，\(f_i\) 表示当前位能不能凑出 \(i\)。\(f_i->f_{\mid i-v\mid}\)，\(f_i->f_{i+v}\)。答案一定在 \([0,9]\) 中，发现大于 \(72\) 的背包不优。

当做 \(18\) 位时，这个背包状态有 \(12880\) 种。实验发现，\(12880\) 也是全部状态数。可以用数位 dp 套这个背包。宽搜所有转移。

设 \(f_{dep,u,k}\) 为当前剩下后 \(dep\) 位随便选，当前在内层自动机的位置为 \(u\)，最最小值小于 \(k\) 的答案。\(T\) 组询问，差分询问 \(x\)，按 \(x\) 从高位到低位在自动机上走，如果没有限制就加上对应的 f 值。

记录状态一个 \(73\) 位 01 串方面，卡哈希，可以考虑用一个 pair 记两个 long long 表示前一半后一半的值。

3.21

CF1685C

前缀和。反转 \([l,r]\) 后 \(b_i=a_{l-1}+a_r-a_{i'}\)。取最大的 \(a_x\)，操作 \([1,x]\) 和 \((x,2\times n]\)。\(b_i=a_x-a_{i'}\ge 0\)。

特判不用做，考虑做一次。找到第一个小于 \(0\) 和最后一个大于 \(0\) 的区间 \([l,r]\)，翻转 \([ll,rr]\) 且 \(ll\le l,rr>r\)。\(\max_{i=l}^{r} a_i\ne a_{ll-1}+a_{rr}\)，找到最大的 \(a_{ll-1}\) 和 \(a_{rr}\) 判断。

P8376

递增子序列以 \(2^x\) 增加，将 \(k\) 二进制拆分。设 \(tp\) 是 \(k\) 二进制最高位，先造长为 \(tp\) 的连续单调上升。加入 \(2^i\) 时，不断下降放在最开始的单调上升的后 \(i\) 个之前。共 \(60\times 2>90\)。考虑将后面部分两步改为一步。如果有连续的 \(i\) 和 \(i-1\) 需要操作，直接在 \(i-1\) 前放大于后面放的最小值和次小值的数。

P9520

因为是一棵树，最短路径唯一，所以每次都让一个人走到底。当走 \(s->t\)，\(s->t\) 中此时没有点，意味着起点这条路径上的人一定先于这个人走，终点在这条路径上的人一定后于这个人走。连边跑拓扑排序看有没有环。复杂度 \(O(n^2)\)。倍增优化 \(O(n\log n)\)。

3.22

P7561

曼哈顿转切比雪夫，二分答案，扫描 X 轴，set 维护 Y 轴，二分 \(y_i-mid\)，枚举到 \(y_i+mid\)，找到大于 \(k\) 个就返回。复杂度 \(O(n\log^2n)\)。

P9734

如果多天走完。第一天，时间倒流，\(n\) 次最短路以 \(s\) 为终点，从 \(i\) 出发的最晚时间。最后一天，\(n\) 次最短路以 \(s\) 为起点，到 \(i\) 的最早时间。稠密图上 dij 复杂度 \(O(n^2)\)。中间部分，把最后一天算出来的一天能走到的 \(u,v\) 连边权为 \(S\) 的边做弗洛伊德。复杂度 \(O(n^3)\)。对于每个询问，枚举第一天去哪里，最后一天开始时在那里，复杂度 \(O(qn^2)\)。对于已知的第一天终点和全程终点，\(O(n^3)\) 预处理最后一天终点，复杂度 \(O(n^3+qn)\)。

如果一天走完，答案只可能有 \(m\) 次变大。算出每条边断开前 \(u->v\) 的最晚出发时间和答案，去掉被包含的部分，二分查询的时间属于那一段。复杂度 \(O(n^4\log n+q\log n)\)。

3.25

CF396C

对于一个点维护 \(b_i=a_i-a_{fa_i}\)。对于操作一，等价于 \(b_u\) 加 \(x\)，\(u\) 的子树不含 \(u\) 减 \(k\)。对于操作二，等价于从根到 \(u\) 路径上的 \(b_x\) 的和。子树加，路径查，树剖加线段树。

3.26

P10272

分类讨论。如果 \(S\) 存在一个周期，设最小周期长为 \(len\)。那么第 \(i\) 次操作是在 \(i-1\)长度上加 \((n-len)\times 2^i\)。用字符串哈希判断是否存在长为 \(i\) 的周期，只需要判断 \(s[1,n-i]=s[i+1,n]\) 。

如果 \(S\) 不存在一个周期，找到真 border \(T\)，再找到 \(T\) 的最小周期 \(TT\)，发现此时答案只取决于 \(S\) 开头存在 \(num\) 个连续的 \(TT\)。记 \(cnt=\frac{\mid T\mid}{\mid TT\mid}\)，发现每次操作答案增加 \(\min(cnt\times 2^i,num)\) 个 \(TT\)。模拟前 \(\log n\) 次操作后每次操作答案增加为定值，计算等差数列。

NOI模拟3.26 T1 礼物(gift)

求最大的 \(\sum[v_i\times t+a_i\equiv 0(\mod 2^l)]\times w_i\)。

\(tv\equiv a(\mod 2^l)\)。不一定有逆元。设 \(t=\frac{q}{2^p}\)，得到 \(t\equiv (\frac{v}{2^p2^c})^{-1}\frac{a}{2^c}(\mod 2^{l-c})\)。当 \(v\) 中恰好有 \(p+c\) 个 \(2\) 且 \(a\) 中至少有 \(c\) 个 \(2\) 是有解。每次枚举 \(p\)，从低到高建 trie 树，把贡献加在 \(q\) 对应的位置上，相当于整个子树都有加 \(w\) 的贡献。答案为最大的链和。

NOI模拟3.26 T2 逆序对(inv)

P5853。求所有长为 \(n\) 的逆序对数为 \(k\) 的排列中 \(i\) 在小根笛卡尔树上的深度之和。

先 dp 满足逆序对数的排列个数。加入第 \(i\) 个数产生 \([0,i-1]\) 对逆序对。将深度转为祖先个数。\(v>u\) 是 \(u\) 的祖先，即 \(v\) 处逆序对数贡献为 \(0\)，撤销背包即可。翻过来再做一遍。

3.27

NOI模拟3.26 T3 字符串(word)

Q6842。\(w(l,r)=s_l\dotsb s_r\)，其中 \(s_i=popcount(i)\mod 2\)。\(S\) 为 \(n\) 个 \(w(l_i,r_i)\) 顺次拼接，\(q\) 次询问 \(p\)在 \(S\) 中出现次数。

对 \(p_i\) 建 AC 自动机，答案为在自动机上走 \(S\)，走到的每个节点加 \(1\)，\(p_i\) 终止节点的 fail 树子树和。

倍增拆开 \(S\)。记 \(a(n,i=0/1)\) 为 \(w(0+i2^n,i2^n+2^n-1)\)，有 \(a(n,i)=a(n-1,i)+a(n-1,i\oplus 1)\)。对于 \(i=k2^n\)，也有 \(w(i,i+2^m-1)=a(n,popcount(i)\mod 2)\)。所以可以将 \([l,r]\) 拆为 \(O(\log n)\) 个区间。

记 \(to_{i,u,0/1}\) 表示自动机上 \(u\) 节点走 \(a(i,0/1)\) 到的点，\(cnt_{i,u,0/1}\) 为自动机上 \(u\) 节点走 \(a(i,0/1)\) 的次数。分别从下一层和上一层得到。

3.28

P3502

设 \(dp_{i,j}\) 表示选了 \(i\) 个，以第 \(j\) 个串结尾的长度。\(O(n^3)\) 哈希处理转移，矩阵快速幂。

P6190

弗洛伊德算一次魔法从 \(i\) 到 \(j\) 的代价。矩阵快速幂。

P7215

对于颜色 \(i\) 的两个点 \(u,v\)，选颜色 \(i\) 就路径 \(u\to v\) 上的所有颜色都要选。倍增优化建图，每个节点连向对应颜色，\(i\) 连向所有颜色为 \(i\) 的节点的 lca 到颜色为 \(i\) 的节点的链连边。缩点，入度为 \(0\) 的 scc 中有效的点的数量。

CF549F

以区间最大值区间为中点，枚举短的一边，二分另一半。复杂度 \(O(n\logh^2 n)\)。

3.29

P4948

• \(a\neq 1\)：

\[s_k=\sum i^ka^i=\sum (i+1)^ka^(i+1)-(n+1)^ka^{n+1}+a \]

\[s_k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k\binom{k}{j} i^ja^{i+1}-(n+1)^ka^{n+1}+a \]

\[s_k=a\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}s_j-(n+1)^ka^{n+1}+a \]

• \(a=1\)

\[s_k=\sum i^k=\sum (i+1)^k-(n+1)^k+1 \]

\[s_k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k\binom{k}{j} i^j-(n+1)^k+1 \]

\[0=\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}s_j-(n+1)^k+1 \]

\[\binom{k+1}{k}s_k=(n+1)^{k+1}-\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}s_j-1 \]

AT_yahoo_procon2019_qual_e

选一些行异或，如果不是全零的话答案为 \(2^{m-1}\)。只需要求若干行异或后全零的方案数，将一行看作大小为 \(m\) 的数，bitset 维护做线性基。

CF1368G

移动骨牌相当于移动空格，按黑白分开，可以移动的连有向边，可以证明这是两组森林。去掉一个骨牌两个空格可以移动到两个子树任意位置，但有重复。用 dfn 序记录一段区间，扫描线算矩阵面积并。

abc291g

\(a+b-a and b=a or b\)。转换为最小 and 和。每一位单独贡献。01 序列的 and 相当于乘法。对每个循环位移长度 \(i\) 记 \(ans_i\)。

把 b 复制一遍。\(ans_j=\sum_k \sum_i a_{i,k}\times b_{i+j,k}\)。差卷积。

3.30

noip模拟3.31 T2 柳绿更带朝烟(farmland)

P006。以 \(1\) 为根的有根树，每个节点有一定数量的奶牛，每单位时间每条边限制流量，奶牛单位时间内可以移动多步，多组询问一定时间内能到达根的最多的奶牛个数。

计算每个点人数减少速度。当一个点送完人后，再有人从下方送来直接往上转，所以可以在并查集上将 \(u\) 与 \(fa_u\) 合并。从小到大处理，知道询问属于哪个段即可。

noip模拟3.31 T3 花落家童未扫(petal)

若 \(\min_{i=l}^r a_i\leq r-l+1\leq \max_{i=l}^r a_r\)，则 \([l,r]\) 符合条件。求有多少种合法划分方案数。

\(f_{i+1}=\sum f_j\times [[j,i] 合法]\)。容斥，等于所有减不满足 min 减不满足 max 加两个都不满足。考虑合法区间的矩形面积并，对于每个 \(i\)，满足 min 的区间形如一个矩形减一个平行于 \(y=x\) 的三角形。三角形无法扫面线，但是可以看成以区间最小值分治然后枚举短的一边。所以把 \(O(n)\) 个矩形减三角形拆成 \(O(n\log n)\) 个矩形。维护区间最小值和最小值对应的 f 值，扫描线更新 f。