2024.1 做题记录

1.08

CF235C

求每个询问串的所有循环同构在主串中出现的次数总和。

向后遍历可做,现在需要删掉开头。删除开头 l1,如果 l=lenlnkp,那 p 就不能再在这个节点,p=lnkp

1.09

P4094

子串 s[a...b] 的所有子串和 s[c...d] 的最长公共前缀的长度的最大值。

二分答案 mid,询问 s[c...c+mid1] 是否在 s[a...b] 中出现。设节点 p 表示 s[c,c+mid1],问 p 的 endpos 是否在 [a+mid1,b] 中有元素。

记录 p 表示 s[1...i],倍增 parent tree 跳到 lenpmid。动态开点线段树合并 endpos 集合。

1.10

CF1237H

因为是对偶数位操作,将每两位和为一位。令 000011102113。如果有解,则 suma0=sumb0,suma3=sumb3,suma1+suma2=sumb1+sumb2

考虑从一个大问题转换为小问题。要找到一种方法使得在不改变其他结构的同时移动 ai。操作 2×i22×i 可以实现两步将 ai 换到 a1a1...i1 不改变结构的移到 a2...i

所以从后向前,设当前维护到 ai,此时 a1...i1 分别等于 bni+2...n。找到 aj=bni+1ij,执行上面操作即可。共 N 次操作。

现在问题是,suma1sumb1 ,我们要反转一次使 suma1=sumb1

我们可以找到 a 中某个前缀,使得 suma1suma1i+suma2i=sumb1,翻转这个前缀。否则一定有 b 的某个前缀,使得 sumb1sumb1i+sumb2i=suma1。这时翻转 b 的这个前缀得到 b,把 a 做成 b 再翻转这个前缀。

CF1329D

转换题意。对于 si=si+1i,加入 aa 长为 m

发现可行的 s 上操作对应 a 上:

  • a 上删 ai,ai+1,其中 aiai+1s 上删 s[ai+1,ai+1],形如 b...[bca]...a。

  • a 上删 ai,其中 aiai+1s 上删 a[1,ai],形如 [bca]...a。

显然优先操作一,答案与 a 中出现次数最大的 p 有关,设为 tp

  • tp×2>m。所有非 p 都与 p 操作一,用栈模拟,知道无法操作为止。

  • 其他情况。能配就配,直到成为上面的情况。用栈模拟,动态维护 tp

从左到右操作,可以不用线段树,记录已删除量 del。处理细节。

结束后栈不空,用操作二一个一个做。可能忽略 s[am+1,n],再用一次操作全部做完。

CF1396E

先求出可行的最大最小答案。

一条边将树分为 sizAsizB,能贡献最大为 min(sizA,sizB),最小为 sizAmod2。最大时,A,B间两两连边,最小时,A,B 内部互相连,多出 sizAmod2

拆开 min(sizA,sizB),可以取重心为根,最大贡献为向下的 siz。最大时所有路径跨过根。因为重心子树大小最大小于 n2,构造取 dfn 序,dfnidfni+n2 连边即可。

最大时点的贡献是到根的距离。取点 u,v ,lca 为 tp。本来 u,v 各自的贡献是 depu+depv,连 u,v 后,贡献为 depu+depv2×deptp,变化量模 20

mxans 变化为 m。每次取出最大的 deptpu,v 改为互相连,然后删掉。要保持重心结构,所以从最大 siz 中选。最后当 deptp>mxansm,因为 deptp 从最大往小,沿树向上一定找得到符合条件的。最后对没删掉的节点跑最大的构造。

1.11

P6240

q 次查询区间 01 背包,值域 tn4×104,q2×105,t200

可以 O(t) 合并背包 fg 求出单个 dp 值。dps=maxi=0sfi+gsi

猫树分治:选取所有询问都包含的某个位置,分别向左右预处理。对于询问的回答,只需要在左端点取信息,在右端点取信息,再合并即可。

分治 S(l,r,ql,qr) 表示处理 [l,r] 的物品和 [ql,qr] 的询问。取 mid=l+r2,向左右背包。遍历 [ql,qr] 的询问,如果在左右就下放,否则合并算出答案。

复杂度 O(ntlogn+qt)

P5576

P5546 做区间询问。

s 作为文本串对其他所以 t 建的 SAM 匹配。复杂度 O(|s|n)|s| 为定值,|s| 越小越好。

猫树分治 S(l,r,ql,qr),选最小的 sk 处理跨过 k 的询问。sk 过长复杂度退化,不能取中点分治。

取阈值 lim,长度小于 lim 的为短串,在短串中取中心。如果没有短串,lim=lim×2。对于 lim,最多分治 logn 次,区间大小 lenlim,匹配串 slim。共 loglenlim,复杂度 O(len+m)lognloglen

开一个大数组,然后用指针标记位置。

P4001

平面图最小割与对偶图最短路等价。

UVA10735

有向图欧拉回路当且仅当每个点入度等于出度。给无向边定向。先随便定向,记 du=outuinu2。改变方向时 du1,dv+1,看作流量变化,连 (u,v,1)du>0 的连 Sdu<0 的连 T。跑网络流看是否满流。

CF1383F

最大流等于最小割。k 条特殊边割或不割 2k 个状态。对于一个状态,先不管特殊边边权,割掉要割的特殊边,跑最小割,在加上要割的特殊边边权,对所有状态取 min 即为答案。

当特殊边边权为 0,一定被割;边权为 maxw=25,一定不割。

从全不割到全割的转移。在旧状态的残余网络上改边权再跑即可,dps=dpt+flow。记录 2k 个网络和当前状态的答案。

dinic 常数大,残余网络上用 FF,不过跟复杂度无关。

1.12

CF280D

长度为 n 的数列,支持:单点修改,区间询问至多选 k 个的不交子段和的最大值。

(s,i,1,0),(i,i+1,1,ai),(i,t,1,0)s>i>j>t 表示选 [i,j)。要求至多 k 流的最大费用。

参考网络流反边,相当于每次取最大子段,再反转,重复 k 次。线段树维护从左、右开始最大值和位置,区间最大值和位置,以及反过来最小值。用栈记录翻过的位置,最后翻回来。

P5996

网络流。同 P2762 太空飞行计划问题 建图方式,将物品与 s(s,i,vi),警察与 t(j+n,t,vj),警察与对应的物品连 (i,j+n,inf),答案为所有物品的收益和减最小割。n,m105,显然跑不了网络流。考虑模拟最大流。

首先要描述警察 j 与物品 i 的关系。要满足:

xixjyiyj∣≤wh

xj×hyj×wxi×hyi×w

xj×h+yj×wxi×h+yi×w

x=x×h+y×w,y=x×hy×w。得到 xixj,yiyj ,能很好描述。

将物品和警察放在一起从左到右,从上到下考虑,自然满足 xixj。贪心,一个警察 j 的流优先从 yiyjyi 最小处流过来,因为更大的 yi 能满足更多人限制。用 set 储存物品,警察处 lower_bound 查找。

gym102904B

划分序列,代价为 x 加区间逆序对数,求最小代价。

dpi=maxdpj+calc(j+1,i),满足决策单调性,单层转移。问题在求区间逆序对数。考虑类似莫队,要求左右两端移动次数不能过大。分治 sovle(l,r,ql,qr)l,r 移动 O(nlogn) 次,可以接受。cdq 分治分层做 sovle,维护树状数组。复杂度 O(nlog3n)

1.13

CF1158F

一个序列的 p 即每次删除一个包含 [1,c] 的前缀能删的次数。

gl,r 表示 [l,r] 中强制选 ar 并正好选出 [1,c] 的子序列数。gl,r=iarti1。设 fi,j 表示以 j 结尾并强制选 j 的答案为 i 的数量。fi,j=fi1,k+gk+1,j。因为答案小于 nm,复杂度 O(n3m)。答案为 i 后乱选,设 ansi 表示答案至少为 i 的数量。ansi=fi,j×2nj,差分得答案。

CF666E

s[pl,pr]T[l,r] 中哪个串出现次数最多。

t 建广义 SAM,s 在上面跑匹配。如果 s[pl,pr]t 中出现,倍增找到 s[pl,pr] 对应的节点。每个节点动态开点线段树,下标为 t 的编号,记录出现次数最大值和下标,线段树合并。

1.14

省选模拟1.14 T2 lis

求子序列最长长度使 lis 比原序列 lis 小。

连边 (i,i,1)(S,i,inf),fi=1(i,T,inf),fi=mx(i,j,inf),fi+1=fj,i<j,ai<aj 跑最小割。模拟最大流。分层,对于点 u,v,fu=fv=i,u<v,au>avu 去到 i+1 层的区间 [lu,ru] 满足 lulv,rurv。对于一个流,优先向 lu 去,因此不需要退流。记录 visu 表示是否走过,tou 指向下一个 visu=0 的点。O(n) 模拟。

1.15

CF1498F

树上节点 iai 个石子,每次选任意个移到 k 级祖先,不能动输,问以每个点为根先手胜负。

depuk 相等的分别考虑 SG 值。当 depuk 为偶数时,u 没意义。因为先手移偶数位后手可以移回奇数位。设 dpu,j,0/1 表示 depumodk=j,depukmod2=0/1 时的 SG 值。换根 dp。

CF1852C

初始全为 0,模 k 意义下最少多少次区间加 1 得到 a 数组。

如果不模 k,差分得 bans=[bi>0]bi。预先对 a 区间加 k 代替取模,bu+k,bv+1k,最小化 ans。反悔贪心,取出最小的 bj<0 和当前 bi>0 做区间加后 bj>0,bi<0,把 bi 入队。

CF1539F

中位数相关,考虑 aj>aij 设为 1aj<aij 设为 1,做前缀和。aj=ai 时可以任意排列。

  • ai>amidaj=aij 放在 i 前,设为 1ans=max[ajai]l+r2=min(sumrsuml1)12

  • 否则,aj=aij 放在 i 后,设为 1ans=max[ajai]l+r2=max(sumrsuml1)2

要动态维护 max(sumrsuml1)。可以按 ai 从小往大加入。初始时 sumi=i,当 ai 改为 1 时,线段树维护区间 [i,n]2max(sumrsuml1)=maxj=insumjminj=1isumj1

CF1797F

求恰好满足一个条件中的 (u,v) 个数:uu>v 编号最小的点;vu>v 编号最大的点。

容斥,ans=∣A+B2C。建大根、小根重构树,A∣=sizmxuC 为在两棵树都有祖先关系的点对。枚举一边,树状数组维护从根到当前节点在另一颗树上的 dfn 序,区间查询,单点修改。

P4248

ti=s[i,n]。求 i<jlenti+lentj2×lcp(ti,tj)

ans=n×(n1)×(n+1)22×i<jlcp(ti,tj)。lcp 看作公共前缀数量。记 sizu 表示节点 endpos 集合大小,对每个节点计算贡献,有 numu=lenulenfau 个串,每个串出现在 sizu 个后缀的前缀中,贡献 numu×sizu×(sizu1)2

P2178

翻转建 SAM,lcp 转换为最长公共后缀,即 parent tree 上的 lca 的 len。记录子树内最大、次大、最小、次小。

P9970

极小的 mex 区间有 O(n) 个。枚举 i 维护所有极小 [l,r],mexl,r=i,不断向左右一边拓展至最近的 ai,得到 mexl,r=calc(l,r)>i 的一个区间,所有这些区间包含所有极小区间,每次转移前删去非极小区间。计算区间 mex:可持久化线段树,[1,n] 为版本,维护每个值最后出现的位置,二分。已知有极小区间 [l,r],mexl,r=x,找到左右的 L,R,aL1=aR+1=x,则 mexl,r=x,Lll,rrR。所有 rl+1,RL+1 中的 len 存在 mex=x,记录加入和删除位置,用 set 扫一遍。

1.16

arc162f

观察发现,第 iai,j1==ai,jnum=1,(j1<<jnum),则第 ii,(ii>i) 行能取 1 的位置是 [1,j11]j 的一个前缀。

但可以空一些行和列,考虑将所有有 1 的行和列压起来。设 dpi,j,k 表示前 i 行,有 j 个列有过 1,上一行有 k1,强制连续选。首先可以取一个前缀,dpi,j,k=l=kjdpi1,j,l,后缀和维护。其次可以向前任意取,但强制连续选,枚举选 l 个,dpi,j,k=l=0kdpi,jl,kl,维护一个斜线的前缀和。ans=(ni)×(mj)×dpi,j,k。再加上全取 0 的情况。

注意取模优化和枚举时 12 的常数!

1.18

CF814E

分层,只有层间和向下层的边。设当前层 m 个点,x 个二度,y 个三度,层间连 z 条。

  • 向下层:(x+2yz)!

  • 层间:(x+2y)!(x+2y2z)!×2z×z!,将二度点当两个点,再出去对的相对顺序。

  • 容斥掉 p 个重边、q 个自环,设 s=2p+q(1)p+q×y!(ys)!×p!×q!×(x+2y2s)!(x+2y2z)!×2xs×(zs)!

CF1142E

维护一个可行答案集合,取出两个询问,将不可行的扔掉。要保证每次询问不能问到粉边,要求每个粉连通块只有一个点在集合中。强行当成 DAG,如果不行再将联通块其他点加入。

CF1240F

构造。将边拆为 uv+n,二分图,如果能使每个点极差不超过 1,合并后不超过 2。设点 u 度数为 ak+b,拆为 a+1 个点。边染色使所有出边颜色不同。同 CF600F

1.19

arc134e

  • 必胜。{1},{2} 必败。

  • 否则 xmod2=12 必胜。

  • 否则 xmod4=24 必胜。

  • 否则模 3 后如果 S={1}{2} 必胜。

  • 否则 S={4,8} 必败,否则模 12{4,8} 必胜。

如果 12x,难以分类讨论。有 20012=16,状压计算出现次数和胜负。

CF487E

圆方树。求出点双,对每个点双建方点,原图点是圆点,方点与对应的圆点连边。

当进入一个点双,一定能到点双中权值最小的点。方点权值为最小的圆点权值,multiset 维护删除,树剖维护路径最小值。

1.20

agc010e

对于不互质的数,后手操作后先后顺序不变。对所有不互质的连边。要求定向后最大拓扑序最小。按权值从小到大 dfs 儿子连边,拓扑时用优先队列。

1.21

P5292

从长为 12 的回文串开始枚举左右出边 bfs,复杂度 O(m2)。减少无用的边。将 00,1101,10 分开,形成若干连通块。如果连通块为二分图,两点间奇偶性相同,可以反复横跳,取生成树即可。不是二分图,连自环即可。边数将为 O(n)

1.22

CF1609F

枚举每个颜色 c,枚举右端,线段树区间维护左端 min 和 max 是否符合条件。

CF1280D

树形 dp。设 dpu,i 表示 u 子树内分 j 段的最大数量。难以记录 u 所在连通块状态。设 fu,i 表示最大数量下 wibi 的值。背包 O(n2)

1.23

CF1218A

是基环树。先考虑树。如果从一个点开始,定为根,ans=sizu。换根 dp 即可。

把环找出来,考虑在环上点 u 的子树中开始染色的答案。染色的方式是大致是从子树的叶子开始向上。对 u 的每个非环上儿子做树的 dp。记 gu 表示从环上进入子树向下染色的答案,dpu 表示换根的、从子树内任意节点开始染色的方案。从环上 u 的非环上儿子 v 的子树开始的答案是 dpv+vvgvansu=gv+max(dpvgv)。染完环上 u 的子树后,绕环染环上点。再从除 u 外的环上点向下染其他环上点的子树,答案为 gv

发现前后贡献固定,变动的是染环的顺序。染环是染一个区间,每次向左右拓展。每次染一个点,答案加上当前连通块大小,当前连通块大小减 sizu。贪心向小的染是错的,因为有后效性。记录 siz 的前缀和,区间 dp,O(1) 向左右转移,滚动即可。

1.24

CF288E

ans=(X×10i+477)(X×10i+744)

维护 X 的数量、和、平方和。

省选模拟1.24 T2 lottop

对于平面图,VE+F=2,顶点数、边数、平面数。每个面至少围 3 条边,每条边对应两个面,2E3FE3V6。平面图存在点度数小于等于 5,对偶图也是平面图存在点度数小于等于 5,平面图存在环小于等于 5。判三、四元环。

根号分治,按度数、大小定向为 DAG。复杂度 O(mm)

P7372

连成若干个环,k=lcmai。要 ain×m,取 ai=pici。构造交换相邻的方案。

1.28

P7482

cdq 分治拆成 [l,mid](mid,r] 的贡献。

对于一个区间计算答案可以用 dp 完成。以 mid 为交界合并左右的 dp 值。设 fi,0/1 表示区间 [i,mid] 或区间 (mid,i],是否选 midmid+1 的答案。记跨过 mid 的贡献为 w

w=i=lmidj=mid+1rans(i,j)

gi=fi,1fi,0

w=i=lmidj=mid+1rmax(gi+fi,0+fj,0,gj+fi,0+fj,0)

w=i=lmidj=mid+1rmax(gi,gj)+i=lmidfi,0×(rmid)+j=mid+1rfj,0×(midl+1)

后面两个直接做,前面的对于每个 i 拆开 max 计算。

j=mid+1rmax(gi,gj)=j=mid+1r[gigj]×gi+[gi<gj]×gj

(mid,r]gj 排序,二分 gi 的位置,记录 gj 的后缀和即可。递归 [l,mid](mid,r] 解决。

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