2024.1 做题记录
1.08
CF235C
求每个询问串的所有循环同构在主串中出现的次数总和。
向后遍历可做，现在需要删掉开头。删除开头 \(l\) 减 \(1\)，如果 \(l=len_{lnk_p}\)，那 \(p\) 就不能再在这个节点，\(p=lnk_p\)。
1.09
P4094
子串 \(s[a...b]\) 的所有子串和 \(s[c...d]\) 的最长公共前缀的长度的最大值。
二分答案 \(mid\)，询问 \(s[c...c+mid-1]\) 是否在 \(s[a...b]\) 中出现。设节点 \(p\) 表示 \(s[c,c+mid-1]\)，问 \(p\) 的 endpos 是否在 \([a+mid-1,b]\) 中有元素。
记录 \(p\) 表示 \(s[1...i]\)，倍增 parent tree 跳到 \(len_p\leq mid\)。动态开点线段树合并 endpos 集合。
1.10
CF1237H
因为是对偶数位操作，将每两位和为一位。令 \(00\) 为 \(0\)， \(01\) 为 \(1\)， \(10\) 为 \(2\)， \(11\) 为 \(3\)。如果有解，则 \(suma0=sumb0,suma3=sumb3,suma1+suma2=sumb1+sumb2\)。
考虑从一个大问题转换为小问题。要找到一种方法使得在不改变其他结构的同时移动 \(a_i\)。操作 \(2\times i-2\) 和 \(2\times i\) 可以实现两步将 \(a_i\) 换到 \(a_1\)，\(a_{1...{i-1}}\) 不改变结构的移到 \(a_{2...i}\)。
所以从后向前，设当前维护到 \(a_i\)，此时 \(a_{1...{i-1}}\) 分别等于 \(b_{{n-i+2}...n}\)。找到 \(a_j=b_{n-i+1}\) 且 \(i\leq j\)，执行上面操作即可。共 \(N\) 次操作。
现在问题是，\(suma1\neq sumb1\) ，我们要反转一次使 \(suma1=sumb1\)。
我们可以找到 \(a\) 中某个前缀，使得 \(suma1-suma1_i+suma2_i=sumb1\)，翻转这个前缀。否则一定有 \(b\) 的某个前缀，使得 \(sumb1-sumb1_i+sumb2_i=suma1\)。这时翻转 \(b\) 的这个前缀得到 \(b'\)，把 \(a\) 做成 \(b'\) 再翻转这个前缀。
CF1329D
转换题意。对于 \(s_i=s_{i+1}\) 的 \(i\)，加入 \(a\)，\(a\) 长为 \(m\)。
发现可行的 \(s\) 上操作对应 \(a\) 上：
-
\(a\) 上删 \(a_i,a_{i+1}\)，其中 \(a_i\neq a_{i+1}\)，\(s\) 上删 \(s[a_i+1,a_{i+1}]\)，形如 b...[bca]...a。
-
\(a\) 上删 \(a_i\)，其中 \(a_i\neq a_{i+1}\)，\(s\) 上删 \(a[1,a_i]\)，形如 [bca]...a。
显然优先操作一，答案与 \(a\) 中出现次数最大的 \(p\) 有关，设为 \(t_p\)。
-
\(t_p\times2>m\)。所有非 \(p\) 都与 \(p\) 操作一，用栈模拟，知道无法操作为止。
-
其他情况。能配就配，直到成为上面的情况。用栈模拟，动态维护 \(t\) 和 \(p\)。
从左到右操作，可以不用线段树，记录已删除量 \(del\)。处理细节。
结束后栈不空，用操作二一个一个做。可能忽略 \(s[a_m+1,n]\)，再用一次操作全部做完。
CF1396E
先求出可行的最大最小答案。
一条边将树分为 \(sizA\) 和 \(sizB\)，能贡献最大为 \(min(sizA,sizB)\)，最小为 \(sizA\bmod 2\)。最大时，\(A,B\)间两两连边，最小时，\(A,B\) 内部互相连，多出 \(sizA \bmod 2\)。
拆开 \(min(sizA,sizB)\)，可以取重心为根，最大贡献为向下的 \(siz\)。最大时所有路径跨过根。因为重心子树大小最大小于 \(\frac{n}{2}\)，构造取 dfn 序，\(dfn_i\) 与 \(dfn_{i+\frac{n}{2}}\) 连边即可。
最大时点的贡献是到根的距离。取点 \(u,v\) ，lca 为 \(tp\)。本来 \(u,v\) 各自的贡献是 \(dep_u+dep_v\)，连 \(u,v\) 后，贡献为 \(dep_u+dep_v-2\times dep_{tp}\)，变化量模 \(2\) 为 \(0\)。
从 \(mxans\) 变化为 \(m\)。每次取出最大的 \(dep_{tp}\) 的 \(u,v\) 改为互相连，然后删掉。要保持重心结构，所以从最大 \(siz\) 中选。最后当 \(dep_{tp}>mxans-m\)，因为 \(dep_{tp}\) 从最大往小，沿树向上一定找得到符合条件的。最后对没删掉的节点跑最大的构造。
1.11
P6240
\(q\) 次查询区间 01 背包，值域 \(t\)。\(n\leq 4\times 10^4,q\leq 2\times 10^5,t\leq 200\)。
可以 \(O(t)\) 合并背包 \(f\) 和 \(g\) 求出单个 \(dp\) 值。\(dp_s=max_{i=0}^{s}f_i+g_{s-i}\)。
猫树分治：选取所有询问都包含的某个位置，分别向左右预处理。对于询问的回答,只需要在左端点取信息,在右端点取信息,再合并即可。
分治 \(S(l,r,ql,qr)\) 表示处理 \([l,r]\) 的物品和 \([ql,qr]\) 的询问。取 \(mid=\frac{l+r}{2}\)，向左右背包。遍历 \([ql,qr]\) 的询问，如果在左右就下放，否则合并算出答案。
复杂度 \(O(nt\log n+qt)\)。
P5576
P5546 做区间询问。
选 \(s\) 作为文本串对其他所以 \(t\) 建的 SAM 匹配。复杂度 \(O(|s|n)\)，\(\sum |s|\) 为定值，\(|s|\) 越小越好。
猫树分治 \(S(l,r,ql,qr)\)，选最小的 \(s_k\) 处理跨过 \(k\) 的询问。\(s_k\) 过长复杂度退化，不能取中点分治。
取阈值 \(lim\)，长度小于 \(lim\) 的为短串，在短串中取中心。如果没有短串，\(lim=lim\times 2\)。对于 \(lim\)，最多分治 \(\log n\) 次，区间大小 \(\frac{\sum len}{lim}\)，匹配串 \(s\) 长 \(lim\)。共 \(\log {\sum len}\) 种 \(lim\)，复杂度 \(O(\sum len+m)\log n\log len\)。
开一个大数组，然后用指针标记位置。
P4001
平面图最小割与对偶图最短路等价。
UVA10735
有向图欧拉回路当且仅当每个点入度等于出度。给无向边定向。先随便定向，记 \(d_u=\frac{out_u-in_u}{2}\)。改变方向时 \(d_u-1,d_v+1\)，看作流量变化，连 \((u,v,1)\)。\(d_u>0\) 的连 \(S\)，\(d_u<0\) 的连 \(T\)。跑网络流看是否满流。
CF1383F
最大流等于最小割。\(k\) 条特殊边割或不割 \(2^k\) 个状态。对于一个状态，先不管特殊边边权，割掉要割的特殊边，跑最小割，在加上要割的特殊边边权，对所有状态取 min 即为答案。
当特殊边边权为 \(0\)，一定被割；边权为 \(maxw=25\)，一定不割。
从全不割到全割的转移。在旧状态的残余网络上改边权再跑即可，\(dp_s=dp_{t}+flow\)。记录 \(2^k\) 个网络和当前状态的答案。
dinic 常数大，残余网络上用 FF，不过跟复杂度无关。
1.12
CF280D
长度为 \(n\) 的数列，支持：单点修改，区间询问至多选 \(k\) 个的不交子段和的最大值。
连 \((s,i,1,0),(i,i+1,1,a_i),(i,t,1,0)\)，\(s->i->j->t\) 表示选 \([i,j)\)。要求至多 \(k\) 流的最大费用。
参考网络流反边，相当于每次取最大子段，再反转，重复 \(k\) 次。线段树维护从左、右开始最大值和位置，区间最大值和位置，以及反过来最小值。用栈记录翻过的位置，最后翻回来。
P5996
网络流。同 P2762 太空飞行计划问题 建图方式，将物品与 \(s\) 连 \((s,i,v_i)\)，警察与 \(t\) 连 \((j+n,t,v_j)\)，警察与对应的物品连 \((i,j+n,inf)\)，答案为所有物品的收益和减最小割。\(n,m\leq 10^5\)，显然跑不了网络流。考虑模拟最大流。
首先要描述警察 \(j\) 与物品 \(i\) 的关系。要满足：
令 \(x=x\times h+y\times w,y=x\times h-y\times w\)。得到 \(x_i\leq x_j,y_i\geq y_j\) ，能很好描述。
将物品和警察放在一起从左到右，从上到下考虑，自然满足 \(x_i\leq x_j\)。贪心，一个警察 \(j\) 的流优先从 \(y_i\geq y_j\) 且 \(y_i\) 最小处流过来，因为更大的 \(y_i\) 能满足更多人限制。用 set 储存物品，警察处 lower_bound 查找。
gym102904B
划分序列，代价为 \(x\) 加区间逆序对数，求最小代价。
\(dp_i=\max dp_j+calc(j+1,i)\)，满足决策单调性，单层转移。问题在求区间逆序对数。考虑类似莫队，要求左右两端移动次数不能过大。分治 \(sovle(l,r,ql,qr)\) 中 \(l,r\) 移动 \(O(n\log n)\) 次，可以接受。cdq 分治分层做 sovle，维护树状数组。复杂度 \(O(n\log^3 n)\)。
1.13
CF1158F
一个序列的 \(p\) 即每次删除一个包含 \([1,c]\) 的前缀能删的次数。
设 \(g_{l,r}\) 表示 \([l,r]\) 中强制选 \(a_r\) 并正好选出 \([1,c]\) 的子序列数。\(g_{l,r}=\prod_{i\neq a_r}t_i-1\)。设 \(f_{i,j}\) 表示以 \(j\) 结尾并强制选 \(j\) 的答案为 \(i\) 的数量。\(f_{i,j}=\sum f_{i-1,k}+g_{k+1,j}\)。因为答案小于 \(\frac{n}{m}\)，复杂度 \(O(\frac{n^3}{m})\)。答案为 \(i\) 后乱选，设 \(ans_i\) 表示答案至少为 \(i\) 的数量。\(ans_i=f_{i,j}\times 2^{n-j}\)，差分得答案。
CF666E
求 \(s[pl,pr]\) 在 \(T[l,r]\) 中哪个串出现次数最多。
对 \(t\) 建广义 SAM，\(s\) 在上面跑匹配。如果 \(s[pl,pr]\) 在 \(t\) 中出现，倍增找到 \(s[pl,pr]\) 对应的节点。每个节点动态开点线段树，下标为 \(t\) 的编号，记录出现次数最大值和下标，线段树合并。
1.14
省选模拟1.14 T2 lis
求子序列最长长度使 lis 比原序列 lis 小。
连边 \((i,i',1)\)，\((S,i,inf),f_i=1\)，\((i',T,inf),f_i=mx\)，\((i',j,inf),f_i+1=f_j,i<j,a_i<a_j\) 跑最小割。模拟最大流。分层，对于点 \(u,v,f_u=f_v=i,u<v,a_u>a_v\)。\(u\) 去到 \(i+1\) 层的区间 \([l_u,r_u]\) 满足 \(l_u\leq l_v,r_u\leq r_v\)。对于一个流，优先向 \(l_u\) 去，因此不需要退流。记录 \(vis_u\) 表示是否走过，\(to_u\) 指向下一个 \(vis_u=0\) 的点。\(O(n)\) 模拟。
1.15
CF1498F
树上节点 \(i\) 有 \(a_i\) 个石子，每次选任意个移到 \(k\) 级祖先，不能动输，问以每个点为根先手胜负。
\(dep_u\) 模 \(k\) 相等的分别考虑 SG 值。当 \(\lfloor \frac{dep_u}{k} \rfloor\) 为偶数时，\(u\) 没意义。因为先手移偶数位后手可以移回奇数位。设 \(dp_{u,j,0/1}\) 表示 \(dep_u \bmod k=j,\lfloor \frac{dep_u}{k} \rfloor \bmod 2=0/1\) 时的 SG 值。换根 dp。
CF1852C
初始全为 \(0\)，模 \(k\) 意义下最少多少次区间加 \(1\) 得到 \(a\) 数组。
如果不模 \(k\)，差分得 \(b\)，\(ans=\sum [b_i>0]b_i\)。预先对 \(a\) 区间加 \(k\) 代替取模，\(b_u+k,b_{v+1}-k\)，最小化 \(ans\)。反悔贪心，取出最小的 \(b_j<0\) 和当前 \(b_i>0\) 做区间加后 \(b_j>0,b_i<0\)，把 \(b_i\) 入队。
CF1539F
中位数相关，考虑 \(a_j>a_i\) 的 \(j\) 设为 \(1\)，\(a_j<a_i\) 的 \(j\) 设为 \(-1\)，做前缀和。\(a_j=a_i\) 时可以任意排列。
-
\(a_i>a_{mid}\)，\(a_j=a_i\) 的 \(j\) 放在 \(i\) 前，设为 \(-1\)。\(ans=\max \sum [a_j\leq a_i] -\lceil \frac{l+r}{2} \rceil=\frac{-\min (sum_r-sum_{l-1})-1}{2}\)。
-
否则，\(a_j=a_i\) 的 \(j\) 放在 \(i\) 后，设为 \(1\)。\(ans=\max \sum [a_j\geq a_i] -\lceil \frac{l+r}{2} \rceil=\frac{\max (sum_r-sum_{l-1})}{2}\)。
要动态维护 \(\max (sum_r-sum_{l-1})\)。可以按 \(a_i\) 从小往大加入。初始时 \(sum_i=i\)，当 \(a_i\) 改为 \(-1\) 时，线段树维护区间 \([i,n]\) 减 \(2\)。\(\max (sum_r-sum_{l-1})=\max_{j=i}^{n}sum_j-\min_{j=1}^{i}sum_{j-1}\)。
CF1797F
求恰好满足一个条件中的 \((u,v)\) 个数：\(u\) 是 \(u->v\) 编号最小的点；\(v\) 是 \(u->v\) 编号最大的点。
容斥，\(ans=\mid A\mid+\mid B\mid-2\mid C\mid\)。建大根、小根重构树，\(\mid A\mid=\sum sizmx_u\)。\(C\) 为在两棵树都有祖先关系的点对。枚举一边，树状数组维护从根到当前节点在另一颗树上的 dfn 序，区间查询，单点修改。
P4248
\(t_i=s[i,n]\)。求 \(\sum_{i<j}len_{t_i}+len_{t_j}-2\times lcp(t_i,t_j)\)。
\(ans=\frac{n\times (n-1)\times (n+1)}{2}-2\times \sum_{i<j} lcp(t_i,t_j)\)。lcp 看作公共前缀数量。记 \(siz_u\) 表示节点 endpos 集合大小，对每个节点计算贡献，有 \(num_u=len_u-len_{fa_u}\) 个串，每个串出现在 \(siz_u\) 个后缀的前缀中，贡献 \(num_u\times \frac{siz_u\times (siz_u-1)}{2}\)。
P2178
翻转建 SAM，lcp 转换为最长公共后缀，即 parent tree 上的 lca 的 len。记录子树内最大、次大、最小、次小。
P9970
极小的 mex 区间有 \(O(n)\) 个。枚举 \(i\) 维护所有极小 \([l,r],mex_{l,r}=i\)，不断向左右一边拓展至最近的 \(a_i\)，得到 \(mex_{l',r'}=calc(l',r')>i\) 的一个区间，所有这些区间包含所有极小区间，每次转移前删去非极小区间。计算区间 mex：可持久化线段树，\([1,n]\) 为版本，维护每个值最后出现的位置，二分。已知有极小区间 \([l,r],mex_{l,r}=x\)，找到左右的 \(L,R,a_{L-1}=a_{R+1}=x\)，则 \(mex_{l',r'}=x,L\leq l'\leq l,r\leq r'\leq R\)。所有 \(r-l+1,R-L+1\) 中的 \(len\) 存在 \(mex=x\)，记录加入和删除位置，用 set 扫一遍。
1.16
arc162f
观察发现，第 \(i\) 行 \(a_{i,j_1}=\ldots =a_{i,j_{num}}=1,(j_1<\ldots <j_{num})\)，则第 \(ii,(ii>i)\) 行能取 \(1\) 的位置是 \([1,j_1-1]\) 和 \(j\) 的一个前缀。
但可以空一些行和列，考虑将所有有 \(1\) 的行和列压起来。设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 行，有 \(j\) 个列有过 \(1\)，上一行有 \(k\) 个 \(1\)，强制连续选。首先可以取一个前缀，\(dp'_{i,j,k}=\sum_{l=k}^j dp_{i-1,j,l}\)，后缀和维护。其次可以向前任意取，但强制连续选，枚举选 \(l\) 个，\(dp_{i,j,k}=\sum_{l=0}^k dp'_{i,j-l,k-l}\)，维护一个斜线的前缀和。\(ans=\sum \binom{n}{i}\times \binom{m}{j}\times dp_{i,j,k}\)。再加上全取 \(0\) 的情况。
注意取模优化和枚举时 \(\frac{1}{2}\) 的常数！
1.18
CF814E
分层，只有层间和向下层的边。设当前层 \(m\) 个点，\(x\) 个二度，\(y\) 个三度，层间连 \(z\) 条。
-
向下层：\((x+2y-z)!\)
-
层间：\(\frac{(x+2y)!}{(x+2y-2z)!\times 2^z\times z!}\)，将二度点当两个点，再出去对的相对顺序。
-
容斥掉 \(p\) 个重边、\(q\) 个自环，设 \(s=2p+q\)：\(\frac{(-1)^{p+q}\times y!}{(y-s)!\times p!\times q!}\times\frac{(x+2y-2s)!}{(x+2y-2z)!\times 2^{x-s}\times (z-s)!}\)
CF1142E
维护一个可行答案集合，取出两个询问，将不可行的扔掉。要保证每次询问不能问到粉边，要求每个粉连通块只有一个点在集合中。强行当成 DAG，如果不行再将联通块其他点加入。
CF1240F
构造。将边拆为 \(u\) 和 \(v+n\)，二分图，如果能使每个点极差不超过 \(1\)，合并后不超过 \(2\)。设点 \(u\) 度数为 \(ak+b\)，拆为 \(a+1\) 个点。边染色使所有出边颜色不同。同 CF600F。
1.19
arc134e
-
\(\emptyset\) 必胜。\(\{1\},\{2\}\) 必败。
-
否则 \(\exists x\bmod 2=1\) 模 \(2\) 必胜。
-
否则 \(\exists x\bmod 4=2\) 模 \(4\) 必胜。
-
否则模 \(3\) 后如果 \(S=\{1\}\) 或 \(\{2\}\) 必胜。
-
否则 \(S=\{4,8\}\) 必败，否则模 \(12\) 得 \(\{4,8\}\) 必胜。
如果 \(\forall 12\mid x\)，难以分类讨论。有 \(\lfloor \frac{200}{12} \rfloor=16\)，状压计算出现次数和胜负。
CF487E
圆方树。求出点双，对每个点双建方点，原图点是圆点，方点与对应的圆点连边。
当进入一个点双，一定能到点双中权值最小的点。方点权值为最小的圆点权值，multiset 维护删除，树剖维护路径最小值。
1.20
agc010e
对于不互质的数，后手操作后先后顺序不变。对所有不互质的连边。要求定向后最大拓扑序最小。按权值从小到大 dfs 儿子连边，拓扑时用优先队列。
1.21
P5292
从长为 \(1\) 和 \(2\) 的回文串开始枚举左右出边 bfs，复杂度 \(O(m^2)\)。减少无用的边。将 \(00,11\) 和 \(01,10\) 分开，形成若干连通块。如果连通块为二分图，两点间奇偶性相同，可以反复横跳，取生成树即可。不是二分图，连自环即可。边数将为 \(O(n)\)。
1.22
CF1609F
枚举每个颜色 \(c\)，枚举右端，线段树区间维护左端 min 和 max 是否符合条件。
CF1280D
树形 dp。设 \(dp_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树内分 \(j\) 段的最大数量。难以记录 \(u\) 所在连通块状态。设 \(f_{u,i}\) 表示最大数量下 \(w_i-b_i\) 的值。背包 \(O(n^2)\)。
1.23
CF1218A
是基环树。先考虑树。如果从一个点开始，定为根，\(ans=\sum siz_u\)。换根 dp 即可。
把环找出来，考虑在环上点 \(u\) 的子树中开始染色的答案。染色的方式是大致是从子树的叶子开始向上。对 \(u\) 的每个非环上儿子做树的 dp。记 \(g_u\) 表示从环上进入子树向下染色的答案，\(dp_u\) 表示换根的、从子树内任意节点开始染色的方案。从环上 \(u\) 的非环上儿子 \(v\) 的子树开始的答案是 \(dp_v+\sum_{v'\neq v} g_{v'}\)，\(ans_u=\sum g_v+\max (dp_v-g_v)\)。染完环上 \(u\) 的子树后，绕环染环上点。再从除 \(u\) 外的环上点向下染其他环上点的子树，答案为 \(\sum g_v\)。
发现前后贡献固定，变动的是染环的顺序。染环是染一个区间，每次向左右拓展。每次染一个点，答案加上当前连通块大小，当前连通块大小减 \(siz_u\)。贪心向小的染是错的，因为有后效性。记录 \(siz\) 的前缀和，区间 dp，\(O(1)\) 向左右转移，滚动即可。
1.24
CF288E
维护 \(X\) 的数量、和、平方和。
省选模拟1.24 T2 lottop
对于平面图，\(V-E+F=2\)，顶点数、边数、平面数。每个面至少围 \(3\) 条边，每条边对应两个面，\(2E\geq3F\)，\(E\leq3V-6\)。平面图存在点度数小于等于 \(5\)，对偶图也是平面图存在点度数小于等于 \(5\)，平面图存在环小于等于 \(5\)。判三、四元环。
根号分治，按度数、大小定向为 DAG。复杂度 \(O(m\sqrt m)\)。
P7372
连成若干个环，\(k=lcm a_i\)。要 \(\sum a_i\leq n\times m\)，取 \(a_i=p_i^{c_i}\)。构造交换相邻的方案。
1.28
P7482
cdq 分治拆成 \([l,mid]\) 到 \((mid,r]\) 的贡献。
对于一个区间计算答案可以用 dp 完成。以 \(mid\) 为交界合并左右的 dp 值。设 \(f_{i,0/1}\) 表示区间 \([i,mid]\) 或区间 \((mid,i]\)，是否选 \(mid\) 或 \(mid+1\) 的答案。记跨过 \(mid\) 的贡献为 \(w\)。
记 \(g_i=f_{i,1}-f_{i,0}\)。
后面两个直接做，前面的对于每个 \(i\) 拆开 max 计算。
对 \((mid,r]\) 的 \(g_j\) 排序，二分 \(g_i\) 的位置，记录 \(g_j\) 的后缀和即可。递归 \([l,mid]\) 和 \((mid,r]\) 解决。
