初识动态规划

动态规划作为一类重要的算法问题，但在日常普通的编程中一般不会见到，大学课程中的数据结构与算法课也不会详细讲解，但是对于很多oj题目中是必备的知识。

动态规划看名字让人摸不着头脑。我最初对其的了解来自于老师在求“斐波那契数方法中非递归解法”稍微的一提，老师当时是说：对于已经计算出的结果，把它存下来为以后使用。

这个想法在求斐波那契数列时自然十分好理解，然而其运用于其他问题时，方法却没有那么明显易懂。

下面以一个运用动态规划的简单例子：求最大连续子序列。

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

此题的动态规划解法即是：设数组max_end_of_i，使max_end_of_i[i]为以第i个元素为结尾的最大连续子序列和，则max_end_of_i[0]即为地0个元素值；

此刻我们使用较为熟悉的递归算法思想：max_end_of_i[i]要么等于max_end_of_i[i-1]+第i个元素值，要么等于第i个元素值（两种情况较大的那个值）;

因此以i=1~K-1的顺序我们依次可求得整个max_end_of_i数组；则max_end_of_i数组中最大值即为答案。

其中使用递归思想的那一步使用的递推方式叫做状态转移方程。

那么动态规划和递归有何异同呢？

相同点：都使用递推公式。

不同点：

1.递归使用递推公式时是以新的参数调用自身（由上到下），动态规划则一般是配合一个数组（由下到上）求得结果；

2.动态规划以空间换时间，使得算法执行时间复杂度比较低，而递归一般比较耗时。

下面以另一个更复杂些的动态规划问题——01背包问题作为结尾：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

解法：此问题较上一个问题多了一个因素，因此设f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。状态转移方程便 是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。即：前i件物品放入容量为v的背包可以获得的最大价值等于 max{前i-1件物品放入容量为v的背包可获得的最大价值，前i-1件物品放入容量为v减去第i件物品重量的背包，再加上第i件物品价值}。

这里还可以将空间复杂度从O(N*V)优化为O(V)，原理很简单。