Atcoder Regular Round #151 B题 A < AP 题解

题意：给定一个排列 \(p\)，求满足下列条件的 \(a\) 数组的数量。

• \(1\le a_i\le m\)。

• \(a\) 数组的字典序小于 \(\{a_{p_1},a_{p_2},\cdots,a_{p_n}\}\)。

题解：

由于每一个 \(a < a_p\) 的方案都可以反过来变成 \(a > a_p\)，那么只需要计算 \(a = a_p\) 的方案数即可。

如果 \(a = a_p\)，那么 \(a_i = a_{p_i}\)，\(i\) 和 \(p_i\) 之间连一条无向边，求连通块的个数为 \(lth\)，那么 \(a < a_p\) 的方案数是 \((m^n-m^{lth})/2\)。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int ksm(int a, int b, int c)
{
  if (!b)
    return 1;
  int ans = ksm(a, b >> 1, c);
  ans = 1ll * ans * ans % c;
  if (b & 1)
    ans = 1ll * ans * a % c;
  return ans;
}

const int N = 2e5 + 10;
const int mod = 998244353;
int p[N];
vector <int> z[N];
bool vis[N];
void dfs(int u)
{
  vis[u] = true;
  for (auto &v : z[u])
    if (!vis[v])
      dfs(v);
}

signed main()
{
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i ++)
    cin >> p[i];
  for (int i = 1; i <= n; i ++)
    z[i].push_back(p[i]);
  int cnt = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i ++)
    if (!vis[i])
    {
      cnt ++;
      dfs(i);
    }
  int p = ksm(m, n, mod) - ksm(m, cnt, mod);
  p %= mod;
  p += mod;
  p %= mod;
  p = 1ll * p * ksm(2, mod - 2, mod) % mod;
  cout << p << '\n';
  return 0;
}