仙人掌

仙人掌

目录

• 仙人掌
  • 1. 三分钟了解仙人掌
    • 1.1 仙人掌的定义
    • 1.2 仙人掌和树的联系
    • 1.3 仙人掌求两点之间的最短距离

课程三要素：

1. Q
2. W
3. Q

1. 三分钟了解仙人掌

不是这个仙人掌！

1.1 仙人掌的定义

定义仙人掌为：任意一条边最多只出现在了一条简单回路的无向、连通的图。

放图：

---

第一个图是满足性质的。

第二个图不满足性质，因为点 $2$，点 $3$ 出现在了两个环里。

第三个图不满足性质，因为图不连通。

1.2 仙人掌和树的联系

我们可以使用 tarjan 算法对仙人掌进行缩点（请注意这个缩点指的不是缩成一个点，而是将一个环缩成一个点！），这样就能得到一棵树。

1.3 仙人掌求两点之间的最短距离

对于一棵树而言，两点距离是唯一确定的，在 $\mathcal{O}(\text{树的深度})$ 的时间复杂度内就可以求出。

当然也可以使用树上差分+ST表，tarjan 来求解。本例中不详细讲解。

对于一个仙人掌而言，两点距离是不唯一确定的，

这里我们就可以使用知识点 圆方树 来求解了！

那么如何将仙人掌转换成圆方树呢？

我们现在要将这一个仙人掌转化成圆方树。

在圆方树中，所有的边都是有向的。

我们先随便挑一个点作为圆方树的根节点。比如说 5 号节点。

对于任意的一个环，我们都可以在这一个环上找到一个点，使得这一个点距离根节点上的一个点最近。

比如说对于 $1$，$2$，$3$，$4$ 这一个环，$4$ 号节点距离根节点 $5$ 号节点是最近的，距离为 $2$。

对于 $6$，$7$，$8$ 这一个环，点 $8$ 距离环最近，距离为 $1$。

可以看下图，最近的点已经被加粗了。

下一步，将环变形。

我们任取一个环，比如说环 $1$，$2$，$3$，$4$。

我们对于上面的这一个环，建立一个方点 $k$。

我们从头点 $4$ 向方点 $k$ 连一条边。

然后从方点 $k$ 向其他的所有点，即 $1$，$2$，$3$ 点各连一条边。

现在将这一个图改成从 $4$ 号点连向 $5$ 号点，$k$ 号点连向 $4$ 号点，$1$，$2$，$3$ 号点连向 $k$ 号点。

那么每一个边的权值改怎么定义呢？我们看一开始图的权值。

其中 $4$ 号点向方点 $k$ 连的边权为 $0$。

然后对于其他的点，向 $k$ 点连的边长为原来到 $4$ 点的最短路径的长度。

这样我们就把这一个环拆分成了一个圆方树。

其他的环同理拆分，变成了这个样子：