最小生成树-Prim算法
最小生成树minimal-spanning-tree(概念就不具体介绍了)有两种基于不同贪心选择的算法,一个为Prim算法,一个为Kruskal算法。
Prim和Dijkstra算法很像,只是少了些东西。它将结点分为两类,一类是已经选择了的确定的,构建好了的mst的结点,另一类是还没确定的未选择的结点。
流程是这样的:(括号内为权值),U集合:MST的点集合,V-U:未选择的点集合
1.首先初始化开始结点U,然后把所有能够与U相连的边为候选边
这里就是数组初始化操作了;
1 int sum=0; 2 for(int i=1;i<=n;i++) 3 { 4 dis[i]=map[1][i];//初始化所有点到结点1的距离 5 vis[i]=false;//所有点开始都未被访问 6 } 7 vis[1]=true;//结点1标志为true
1
开始时U是结点1,然后找到所有与1相连的边(dist[i][j]!=0),分别是1-6(10),1-2(28),所以找出最小的(6<28)那个边对应的结点6加入集合U;
1 for(int i=2;i<=n;i++) 2 { 3 int MIN=INF;//从当前节点u到与u联通的子节点的最小权值 4 int k=-1; 5 for(int j=1;j<=n;j++)//遍历每个点 6 { 7 if(!vis[j]&&dis[j]<MIN)//未被访问且距离还小,那就待定选你了,看看还有没有距离更短的 8 { 9 MIN=dis[j];//更新最小值,这个dis表式这个点到已知mst中一点的最小值 10 k=j;//标记结点号 11 } 12 } 13 vis[k]=true;//u->a->b k->b //置已经访问 14 sum+=MIN;//u->k求生成树的路径和 15 ... 16 ... 17 ... 18 }
然后我们发现,左部分和右部分只有两条边相连了,那么继续找最短边就行6-5(25) <1-2(28),所以选择25的那条边,成这样
再比较1-2(28),5-7(24),5-4(22),取出最小边是5-4(22),更新图
继续比较选出最短边,这时有4个边要比较了,1-2(28),5-7(24),4-7(18),4-3(12),找出最短边4-3(12),更新图
继续比较4个个边,1-2(28),5-7(24),4-7(18),3-2(16),找出最短的16,更新图
好了,最后已给点7,应该很容易看出来它是2连接的,因为14是最短的。
所以MST图是这样
后半段的代码是这样的
1 for(int j=1;j<=n;j++)//带已经找到点k的情况下,找结点j 2 { 3 if(!vis[j]&&dis[j]>map[k][j]) 4 {//j未访问且 j到mst中点的最小值还大于从k到j的距离,那么就 5 //要更新这段距离 6 dis[j]=map[k][j];//clost[j] = k; 7 } 8 }
看这个图
比如说开始先初始化,dist[6] =10;dist[4]=1,即结点6和4到结点1的最短距离为dist数组,然后我找到了最短路1-4,并且发现原来的1-6(10)大于6-4(5),所以更新dist[6]=4,他表示结点6到已知MST的某个点的最短的那个距离,也可以将那个点记录在clost数组中,以便需要。
完整代码,其实很简单的
邻接矩阵:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int INF=0x3f3f3f3f; 6 const int MAXN=1005; 7 int map[MAXN][MAXN]; //map[i][j] ---- i->j =v 8 int dis[MAXN]; // 9 bool vis[MAXN]; 10 int n; 11 void init() 12 { 13 for(int i=0;i<=n;i++) 14 { 15 for(int j=0;j<=n;j++) 16 { 17 if(i!=j)map[i][j]=INF; 18 else map[i][j]=0; 19 } 20 } 21 } 22 int Prim() 23 { 24 int sum=0; 25 for(int i=1;i<=n;i++) 26 { 27 dis[i]=map[1][i]; 28 vis[i]=false; 29 } 30 vis[1]=true; 31 for(int i=2;i<=n;i++) 32 { 33 int MIN=INF;//从当前节点u到与u联通的子节点的最小权值 34 int k=-1;//u->v k=v; 35 for(int j=1;j<=n;j++) 36 { 37 if(!vis[j]&&dis[j]<MIN) 38 { 39 MIN=dis[j]; 40 k=j; 41 } 42 } 43 vis[k]=true;//u->a->b k->b 44 sum+=MIN;//u->k 45 for(int j=1;j<=n;j++) 46 { 47 if(!vis[j]&&dis[j]>map[k][j]) 48 { 49 dis[j]=map[k][j]; 50 } 51 } 52 } 53 return sum; 54 } 55 int main() 56 { 57 cin>>n; 58 init(); 59 for(int i=1;i<=n;i++) 60 { 61 for(int j=1;j<=n;j++) 62 { 63 int v; 64 cin>>v; 65 if(map[i][j]>v) 66 { 67 map[i][j]=map[j][i]=v; 68 } 69 } 70 } 71 int c; 72 cin>>c; 73 for(int i=1;i<=c;i++) 74 { 75 int a,b; 76 cin>>a>>b; 77 map[a][b]=map[b][a]=0; 78 } 79 /*for(int i=1;i<=n;i++) 80 { 81 int a,b,v; 82 cin>>a>>b>>v; 83 /*if(map[a][b]>v) 84 { 85 map[a][b]=map[b][a]=v; 86 } 87 map[a][b]=v; 88 }*/ 89 cout<<Prim()<<endl; 90 return 0; 91 }
邻接表:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 /************************************************************************* 2 > File Name: p3366.cpp 3 > Author: YeGuoSheng 4 > Description: 5 最小生成树模板 、如题,给出一个无向图,求出最小生成树,如果该图不连通,则输出orz 6 输入格式 7 第一行包含两个整数N、M,表示该图共有N个结点和M条无向边。(N<=5000,M<=200000) 8 9 接下来M行每行包含三个整数Xi、Yi、Zi,表示有一条长度为Zi的无向边连接结点Xi、Yi 10 11 输出格式 12 输出包含一个数,即最小生成树的各边的长度之和;如果该图不连通则输出orz 13 输入输出样例 14 输入 #1 复制 15 4 5 16 1 2 2 17 1 3 2 18 1 4 3 19 2 3 4 20 3 4 3 21 输出 #1 复制 22 7 23 > Created Time: 2019年08月02日 星期五 10时26分54秒 24 ************************************************************************/ 25 26 #include<iostream> 27 #include<stdio.h> 28 #include<cstring> 29 #include<cmath> 30 #include<vector> 31 #include<stack> 32 #include<map> 33 #include<set> 34 #include<list> 35 #include<queue> 36 #include<string> 37 #include<algorithm> 38 #include<iomanip> 39 using namespace std; 40 const int maxn = 500005; 41 const int INF = 0x3f3f3f3f; 42 int head[maxn]; 43 int dis[maxn]; 44 int vis[maxn]; 45 int n,m;//顶点数,边数 46 struct edge 47 { 48 int v; 49 int w; 50 int next; 51 }edges[maxn<<1]; 52 53 int cnt = 1; 54 55 void Add(int x,int y,int w) 56 { 57 edges[cnt].v = y; 58 edges[cnt].w = w; 59 edges[cnt].next = head[x]; 60 head[x] = cnt ++; 61 } 62 63 void Init() 64 { 65 cin>>n>>m; 66 int x,y,w; 67 for(int i = 1;i <= m;i++) 68 { 69 70 cin>>x>>y>>w; 71 Add(x,y,w);//添加双向边 72 Add(y,x,w); 73 } 74 } 75 76 void Prim() 77 { 78 int total = 0; 79 int ans = 0; 80 int now = 1; 81 for(int i = 2;i <= n;i++) 82 { 83 dis[i] = INF; 84 } 85 86 for(int i = head[1];i;i=edges[i].next) 87 { 88 dis[edges[i].v] = min(dis[edges[i].v],edges[i].w); 89 }//更新所有与起点1相连的边并找到最小值 90 91 while(++total < n)//加入mst顶点数<图的顶点数即没找完,循环 92 { 93 int minn = INF; 94 vis[now] = 1; 95 for(int i = 1;i <= n;i++) 96 { 97 if (! vis[i] && minn > dis[i])//找到一条最短边 98 { 99 minn = dis[i]; 100 now = i; 101 } 102 } 103 ans += minn;//当前找到的最短距离加入结果距离变量中 104 for(int i = head[now]; i ; i =edges[i].next)//松弛操作 105 { 106 int v = edges[i].v; 107 if( ! vis[v]&& dis[v] > edges[i].w ) 108 { 109 dis[v] = edges[i].w; 110 } 111 } 112 } 113 if(ans < INF)//找到解 114 { 115 cout<<ans<<endl; 116 } 117 else 118 { 119 cout<<"orz"<<endl; 120 } 121 122 } 123 int main() 124 { 125 Init(); 126 Prim(); 127 return 0; 128 }