乘方快速幂

乘方快速幂，是为了解决a^b次方普通计算方法太慢的问题。

计算a的b次方，普通的for循环求法如下(O(n))：

int a(int x,int n)
{
    int t=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t=t*x;
    }
    return t;
}

递归求法：

int Pow(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return  1;
    else
        return Pow(a,b-1)*a;
}

二分（递归）求法：

int pow(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return 1;
    if(b%2==0)
        return pow(a*a,b/2);
    return a*pow(a*a,b/2);
}        

当然，数学函数pow(a,b)一步解决问题。但是，因为对时间的要求，有些算法往往时间效率不高，而乘方快速幂也是（O（logn））的解法。

首先，3的26次方，我们可以发现它完全不需要一次一次的乘，因为26次方==2^1+2^3+2^4=2+8+16

所以3^26 = 3^2 *3^8 * 3^16,而3^2=(3^1)^2,(3^4)=(3^2)^2,3^8=(3^4)^2,所以O（logn）的时间可求出3^2,

3^4,3^8...当然，如果指数很大的话，我们不好一点一点分析如何差解，所以我们拿指数的二进制入手。

如26的二进制表示为11010,1对应的权值为16,8,2。它们表示的含义即为对应的乘方次幂是需要的。当然这种分发不唯一的，你也可以分成8,8,4,4,2。但是为了计算方便和应对指数幂很大的情况，根据二进制位是1来划分是最高效的。

对应的算法如下：

 

long long  Quick_Pow(long long  a,long long  b）
    {
        long long  ans = 1;
        while(b)//指数不为0
        {
            if(b & 1)//b为奇数，即二进制最右边一位为1时，说明需要乘这个数
                 ans = ans * a ;
            a = a*a ;//否则底数自乘积
            b >>= 1;//右移1位
        }
        return ans;
    }

 

可以简单检验运行结果。

当然，当结果很大的时候，或要求对答案进行取模处理，这只需要在代码中简单处理即可。

 

long long  Quick_Pow(long long  a,long long  b,long long mod）
    {
        long long  ans = 1;
        while(b)
        {
            if(b & 1)
                 ans = ans * a % mod ;
            a = a*a % mod ;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }

 

 题目链接：

Raising Modulo Numbers 、 Pseudoprime numbers    P3414 SAC#1 - 组合数