离散数学(第二版) 第一章、第二章习题
目录
第一章命题逻辑的基本概念
习题 1
17 题 判断论述
判断下面一段论述是否为真:“ π是无理数.并且如果3是无理数,则 另外 只有 6 能被 2 整除 ,6 才能被 4 整除.”
解答:
- p: π是无理数 1
- q: 3是无理数 0
- r: 是无理数 1
- s:6能被2整除 1
- t: 6能被4整除0
命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
21 题 求下列公式的成假赋值
(格式丑字丑,见谅)由于是第一章节习题所以使用真值表进行计算
- ┐(┐ p∧q)∧┐r
- (┐ q∨r)∧(p→q)
- (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)
29 题 简答题
设A,B都是含命题变项p1,p2,…pn的公式,已知A∨B是矛盾式,证明当且仅当A与B都是矛盾式。
第二章
知识储备
命题公式类型
定义 2.10 设G为公式:
(1) 如果G在所有解释下都是真的,则称G是恒真式(或称G是重言式,永真式);
(2) 如果G在所有解释下都是假的,则称G是恒假式(或称G是矛盾式,永假式);
(3) 如果G不是恒假的,则称G是可满足式。
注意:
(1) 恒真公式的真值表的最后一列全为1,恒假公式的最后一列全为0,可满足公式的最后一列至少有一个1。
(2) 恒真公式一定是可满足的,可满足的不一定是恒真的。
习题二
7、15、29、33
知识储备
定义2.5
所有简单合取式,都是极小项的析取范式,称为主析取范式。
所有简单析取式,都是极大项的合取范式,称为主合取范式。
定理2.3(范式存在定理)
任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。
对主析取范式主合取范式求解不太理解的可以看看下面这个例子
求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式.
(1) (p∧q)∨r
(2) (p→q)∧(q→r)
(1)
这里是解答
⇔(p∧q∧(¬r∨r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 补项。
⇔((p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r))∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r) 结合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r)) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧(¬q∨q)∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 结合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨((¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r))∨(p∧(¬q∨q)∧r) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧(¬q∨q)∧r) 结合。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨((p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r)) 分配律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 结合律。
⇔(p∧q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) 等幂律。
m1∨m3∨m5∨m6∨m7 主析取式
m0∧m2∧m4主合取式
(2)
这里是解答
⇔ (¬p∨q)∧(¬q∨r)
⇔ (¬p∨q∨(¬r∧r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 补项
⇔ ((¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r))∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 分配律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∧p)∨¬q∨r) 结合律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧((¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r)) 分配律
⇔ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)∧(p∨¬q∨r) 结合律
m1∧m2∧m3∧m5 主合取式
m0∨m4∨m6∨m7 主析取式
用主析取范式判断下列公式是否等值.
(1) (p→q)→r与q→(p→r)
(2) ┐(p∧q)与┐(p∨q)
因为任何命题公式的主析取范式都是唯一的,因而A与B等值,当且仅当A与B有相同的主析取范式和主合取范式.
设A= (p→q)→r,B=q→(p→r)
求解 A、B、C、D的主析取范式。
A=(p→q)→r
⇔(p∧┐q)∨r
⇔((P∧┐Q)∧(R∨┐R))∨(R∧(P∨┐P)∧(Q∨┐Q)))
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨((R∧P)∨(R∧┐P))∧(Q∨┐Q))
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(R∧P∧Q)∨(R∧P∧┐Q)∨ (R∧┐P∧Q)∨(R∧┐P∧┐Q)
⇔(P∧┐Q∧R)∨(P∧┐Q┐R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧┐Q ∧R)∨ (┐P∧Q ∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)(上式整理后)
⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7
B=q→(p→r)
⇔¬q∨¬p∨r
⇔¬p∨¬q∨r
⇔M6
⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7
(1)(p→q)→r与q→(p→r)不等值
简答题
在某班班委成员的选举中,已知王小红、李强、丁金生 位同学被选迸了班委会该班的甲 .乙,丙三名学生预言如下.
甲说:王小红为班长,李强为生活委员.
乙说:丁金生为班长,王小红为生活委员
丙说:李强为班长,王小红为学习委员.
班委会分工名单公布后发现,甲 、乙,丙 三人都恰好猜对了一半. 问:王小红、李强、 金生各任何职(用等值等演求解)?
设命题
a:王小红为班长
b:李强为生活委员
c:丁金生为班长
d:王小红为生活委员
e:李强为班长
f:王小红为学习委员
则
a,b当中有且只有1个为真, 即a∧b=F,a∨b=T
c,d当中有且只有1个为真, 即c∧d=F,c∨d=T
e,f当中有且只有1个为真, 即e∧f=F,e∨f=T
又因为a,d,f三个命题当中,有且只有1个为真(王小红只有1个职务),即
(a∧c∧e)∨(b∧d∧e)∨(b∧c∧f)=T ① (枚举3种情况,然后析取)
而b,d不可能同时为真(生活委员只有1个),即b∧d=F
则根据①,化简得
(a∧c∧e)∨(b∧c∧f)=T ②
而a,c,e三个命题当中,也有且只有1个为真(班长只有1个),即
a∧c∧e=F,代入②,得到
b∧c∧f=T
从而
b=c=f=T
即
李强为生活委员,
丁金生为班长,
王小红为学习委员
用消解法判断下列公式是否是可满足的.
(1)p∧(┐p∨┐q)∧q
(2)(p∨q)∧(p∨┐q)∧(┐p∨r)
这是百度文库的答案(因为这些符号太难打了)