箱子嵌套

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箱子嵌套

描述

考虑一个给出为$N$维空间“箱子”的尺度问题。当有两个尺度时,箱子$(2,3)$表示这个箱子长度为$2$个单位,宽度为$3$个单位。当有三个尺度时,箱子$(4,8,9)$表示这个箱子长度是$4$个单位,宽度是$8$个单位,高度是$9$个单位。当它有$6$个尺度时,也许,它表现的是不易了解的箱子$(4,5,6,7,8,9)$;但是我们能分析这个箱子的特性,例如它的各个尺度。

在这个问题中你将分析许多关于$N$维空间的箱子,并解决这些箱子的最大的嵌套问题。箱子$D=(d1,d2,…,dn)$,箱子$E = (e1,e2,…,en)$,di和ei都可以重新排列整理,那么当它们重新排列整理后,箱子D所有的尺度都小于箱子E所有的尺度,那么箱子D可以放入箱子E中。

例如,箱子$D =(2,6)$,当D重新排列整理成$(6,2)$,则可放入箱子$E =(7,3)$中,此时$D$每个尺度都小于E的相应尺度。如果D经过重新整理后$D=(9,7,5,3)$,则不可以放入箱子$E =(10,8,6,20)$中,但是$F =(9,5,7,1)$,重新整理后$F =(9,7,5,1)$,即符合F放入E的条件。

输入

第一行有两个整数,第一个整数为箱子的总数K,第二个整数为每个箱子的空间维数N。以下K行,每行表示一个箱子,有N个尺度数据,数据间用一个或数个空格分开。（$K ≤ 10000,N ≤ 10$）

仅包含一个整数,输出最大箱子嵌套数目。

输入样例 1

5 2

3 7

8 10

5 2　

9 11

21 18

输出样例 1

5

动态规划

完美嵌套

解决这道题，首先要知道如何将两个箱子完美的进行嵌套。

举个例子

a:4 5 4 8

b:5 5 11 9

把a嵌进b箱子。

从大的开始考虑：a[4]是a中的最大值，值为8。

现在有了2种选择：

• 用11

• 用9

11是b中的最大值，9是次大值。

如果用的是9，那么11用去哪里。

如果把a中的其中一个换成10呢？

就不能很好的嵌套了，所以最佳选择为11。

再举个例子：

• a[i],a[j]

• b[i],b[j]

$i≤j$

把a嵌进b里（这是按照排完序后的顺序）

假设a[j]>b[j],我们就只能用b[i]套住a[j]。 但是明显b[j]<a[i]，所以就不行。

这道题目要的是完胜，而不是田忌赛马，有一个不行，就是全部不行。

结论

只要在每个箱子的内部排序就是最佳策略。

---

排完序，一看，求每一个箱子都下降的最长序列，这不就是最长下降子序列吗？

最长下降子序列需要给数组排序。

给所有的维度排序ing...

$TLE 1.20S$

其实有一个小特性，就是求最长上升下降子序列，需要有一定的顺序，但是不知道为什么，并不需要按照严格的顺序来排序。

所以根据这个特性，我们直接对每个维度的最大值来排序就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int dp[11111];
struct Node{
	int k[11];
}a[11111];
bool cmp(int x,int y) {
	return x>y;
}
bool cmp1(Node x,Node y) {
	return x.k[1]<y.k[1];
}
bool check(int x,int y) {
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		if(a[x].k[i]<=a[y].k[i]) return false;
	}
	return true;
}
int main(){
	freopen("box.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			cin>>a[i].k[j];
		}
		sort(a[i].k+1,a[i].k+m+1,cmp);
		dp[i]=1;
	}
	sort(a+1,a+n+1,cmp1);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<i;j++) {
			if(check(i,j)) {
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}
/*
5 2
3 7
8 10
5 2
9 11
21 18
*/