动态规划总结

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。

动态规划是一种很重要的思想，并不是具体的某一种算法，涵盖线性dp，区间dp，背包等问题。

求解

划分原问题与子问题

动态规划嘛，所谓“规划”，就是要做出决策，但是动态规划问题并不能一步到位。需要从某些状态转移过来，所以就要从原来的问题分成更小的问题，循环往复，变成可以直接求出的问题，使用某种方法组合起来就可以得出问题的答案，这一点与递归、递推很相似，所以也可以用递归来实现。

确定状态

所谓状态，就是我们在求解过程中问题的意义，做题需要知道题目在问什么，需要求什么，动态规划的求解就是从一个状态转移到另外一个状态。

有时候状态并不是通过题目直接得出，需要定义一个可以解决问题的状态。

比如说在求最长上升子序列时，不能用到第 i 个最大的值为状态，因为不知道长度。这时候，就可以改变一下状态，变成选到第 i 个数时选定第 i 个数的最长长度为状态，就知道了长度，因为选的是第 i 个数， i 一定要是最大的才能满足最长上升子序列，也知道了最大值。

确定初始状态的值

一个总问题中，可能会有一个值是已经确定了。

还是用最长上升子序列来做例子。到第 i 个数时，最开始虽然不知道最后会选什么，但是肯定有一个是可以选的，就是直接选自己。所以可以把 1~N 初始状态的值全部设为 1 。

状态转移方程

前面说到，动态规划需要从通过组合子问题变成原问题，从而得出最优解。

组合的方法就是所谓的状态转移方程。依旧以最长上升子序列为例子。

它是以前面所有状态得出最长的，并且要符合条件，所以状态转移方程则为：

f[i]=max(f[i],f[j]+1);

i=1 to N , j=1 to i-1 , a[i]>a[j]

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动态规划的特点

最优子结构

最优子结构(optimal substructure) 最优子结构是依赖特定问题和子问题的分割方式而成立的条件。各子问题具有最优解,就能求出整个问题的最优解,此时条件成立。

简单来说，就是假设问题的最优解可以被子问题组合求出来，但是所有的子问题都是一个小的总问题，如果满足最优子结构，那么这个小问题也是最优解。也就是说，原问题与子问题都是最优解。

无后效性

所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。

动态规划在进行第i次选择的时候不能考虑，也考虑不到，这个选择是否与第 $i-x(2≤x<i)$ 次做出的选择有冲突。

因为动态规划的局限性，就要给动态规划铺好路，创造出一个无后效性的状态。

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动态规划的方法是差不多的，但是很多问题还是有不同的变种，它们的思想都是不一样的，下面举几种经典的问题。

背包

01背包

01背包是最基础，也是最经典的问题，实际上，很多的变种背包都是由01背包变种而成的，例如多重背包，完全背包，分组背包等。

01背包，“01”，分别代表着有或者没有，也就是选或不选。

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 Ci 得到的价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这道题，它的状态则为取到第 i 个数时，费用 最多为j 的选择中价值最大的数。

所以很容易得到状态转移方程：

i=1 to N
    j=0 to V
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-C[j]]+W[i]);

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多重背包

多重背包，是01背包的升级版，就是说一共有x个物品，每个都像01背包的物品一样，有价值与花费。

所以说只要把选k个物品加入背包，就是多重背包的状态转移方程。

i=1 to N
    j=0 to V
        k=1 to x[i]
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-C[j]*k]+W[i]*k);

但是其实还有一种方法，就是还是使用01背包的方法，重复 x[i] 次，也就是可以把枚举 k 移动到枚举 i 的后面。

二进制拆分

这是对于多重背包的一种尤为有效的优化方法。

听这个名字可能感觉很高级，其实举个例子就明白:

例子：

100件物品

怎么才能用最少的数枚举出来？

实际上可以通过组合的方式：

给出

1 2 4 8 16 32

分别对应二进制下的

1 10 100 1000 10000 100000

则可以枚举出1到63（1111111），十分的优秀，再加上一个37，就可以实现1100的枚举。

用法

众所周知，背包问题有很多变种都是从01背包转过来的。01背包的特征：有选与不选两种状态。并且能通过枚举每种状态，求得最优解。

仔细思考一下，假设把100件物品分成二进制。价值，代价（如果有）就会增加到原来的同样数量的倍数，是不是就可以拿拆分后的数做01背包呢？

显然是的。

复杂度从每类物品枚举x[i]次变成了 $log(x[i])$ 次。

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完全背包

完全背包与01背包的条件一样，但是物品的数量有无限个。

对于某一件物品，可以选了再选。

状态转移方程则为:

继承：dp[i][j]=dp[i-1][j];

如果能选：dp[i][j]=max(max(dp[i][j],dp[i][j-a[i]]+b[i]),dp[i-1][j-a[i]]+b[i]);

分组背包

与01背包条件一样，但是分组背包就是说有x组物品，每组物品都仅能选一个或不选。

其实还是差不多的，因为一组里的每个物品都有冲突。所以在价值为j时候对这个组内的物品进行枚举（用k表示），就能选择到重量为j的价值最大的选择。

F[k, v] = max{F[k − 1, v],F[k − 1, v − Ci ] + Wi | item i ∈ group k}

有依赖的背包

• 第一种：要先买 K[i] 才能买 K[j] ；对于这种问题，需要把 k 做成前缀和，然后再对前缀和部分进行分组背包，就可以保证每一种都有选到的可能，例题可到http://47.112.32.87/problem/1334去看。

• 第二种：要先支付 x 的花费才能取某组物品；对于这个问题，需要用目前最优解对组的内部进行01背包，再加上花费，然后把取这组物品与不取比较，求得新的最优解，例题可到http://47.112.32.87/problem/1333查看。

• 第三种：要先支付 x 的花费才能取某组物品，但是只能取一个；这种情况可以把每个物品的花费都加上 x ，然后分组背包，没例题。

总结：

有依赖的背包可以说算是最复杂的背包问题，但是其本质是差不多的，一般来说，都是要从依赖下手，把依赖消除，变成其他的背包问题。

混合背包

混合背包，就是有多重背包，01背包，完全背包等的结合体，面对这样的题，就要写出不同对策：01背包就按01背包选，完全背包就按完全背包写......

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最长上升(下降)子序列

基础的最长上升子序列在前文中提到过了，这里讲点复杂的。众所周知，在可以决定最长下降子序列每个数时，要选择相对权值大一点的，把他们放到前面，这样才能保证长度更大。但是有一些问题，比如说在 箱子嵌套 这道题中，有多个条件，要怎么样判断权值呢？

但是可以知道，每个箱子总是有一个最长维度。观察发现，如果箱子[i]的最大维度是在一堆箱子中的最大维度中最大的，那么将没有任何一个箱子可以装的下，因为没有任何比箱子[i]的最大维度更大。

这显然符合相对权值大一点的特征，没有箱子装的下，但是箱子[i]很明显可能可以装下其它箱子。这就避免了箱子[i]可以装下箱子[j]，但是 j<i ，以至于遍历不到，从而选不到的情况。即使这个箱子实际上什么东西也装不下，但是也不会影响整个最长下降子序列的长度，因为无论箱子[i]在哪里都不可能装的下其它箱子。

区间dp

区间dp就是由一个小的区间转变为大的区间，从而得到全局的解。在 P1775 石子合并（弱化版） 这道题中，首先要知道 lk,k+1r 的最优解，才能求出更大的区间 l~r 。所以需要先求出小的区间，才可以得出大的区间的最优解。

在 区间dp 中，一般第一层枚举长度，因为这样可以保证是先求出长度小的区间再求出长度大的区间，第二层一般枚举 左端点 l 与右端点 r ，第三层枚举一个 断点k （非必须）。

比如在 P1775 中，dp[l][r] 很明显是从在 lr 范围内的两个区间内得来的，在这里枚举一个 k 的断点（ lr-1 ）,找两个最小花费的区间，再加上合并两个区间的花费，就是 dp[l][r] 的值了。

状态转移方程：

dp[l][r]=min { dp[l][k]+dp[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]};

(合并还要花费 $\sum_l^rai$ )。

其他

动态规划其实还可以结合其他算法出题。例如在 得分 中，结合了 贪心 的思想。因为在选择中需要有一个顺序，所以我们需要结合贪心的思想进行排序。

总结

动态规划是一个大类，不可能所有的问题都做过。但是一种新奇的题目不可能是凭空变出来的，所以大多数都是做过的题目的变种，可以见微知著，即使只做过动态规划的冰山一角。