P3177 [HAOI2015] 树上染色 题解

$\small\color{#88FF88}\textbf{\textsf{题目传送门}}$

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$\Large\color{skyblue}\mathcal General \ Idea$

树形 dp，主要就是状态与转移方程。

设总共要染色 $V$ 个节点，该题中，我们可以设 $dp_{u,q}$ 为以 $u$ 为根节点的树内，染色 $q$ 个节点的最大收益。

对于节点的第 $i$ 条边，设已经在当前点及其子树染色 $j$ 个点，在以当前边指向节点 $v$ 为根的子树 $t_v$ 内，选了 $k$ 条边。那么状态转移方程为：（以下设以 $u$ 为根的树的节点个数为 $s_u$，当前边权为 $w$）

$$dp_{u,j+k}=\max\limits_{j\leq s_u,k\leq s_v}(dp_{u,j+k},dp_{u,j}+dp_{v,k}+w\times k\times(V-k)+w\times(s_v-k)\times(n-s_v-(V-k)))$$

接下来分别解释意思：

• $dp_{u,j}+dp_{v,k}$。$dp_{u,j+k}$ 可以继承他们。下面计算 $w$ 被计算次数。
• $w\times k\times(V-k)$。在 $t_v$ 内染色 $k$ 个节点，$t_v$ 外有 $V-k$ 个节点被染色，边权 $w$ 就会被计算 $k\times(V-k)$ 次（乘法原理）。
• $w\times(s_v-k)\times(n-s_v-(V-k))$。$t_v$ 内会剩下 $s_v-k$ 个节点未被染色，$t_v$ 外有 $n-s_v$ 个节点，有$n-s_v-(V-k)$ 个未染色节点，边权 $w$ 会被计算 $(s_v-k)\times(n-s_v-(V-k))$ 次（同上）。

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$\Large\color{skyblue}\mathcal Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 2e3+10;
struct LovelyLzw//lzw 敲可爱
{
	int v,ne,w;
}ee[N*2];
int hd[N],ne,s[N],V,n;
ll dp[N][N];
void ae(int u,int v,int w)//链式前向星
{
	ee[++ne]={v,hd[u],w};
	hd[u]=ne;
}
void dfs(int u)
{
	s[u]=1;
	for(int i=hd[u];i;i=ee[i].ne)
	{
		ll v=ee[i].v,w=ee[i].w;
		if(s[v]) continue;dfs(v);
		for(int j=s[u];j>=0;j--)//要倒序枚举 否则会被算多边
			for(int k=min(s[v],V-j);k>=0;k--)
				dp[u][j+k]=max(dp[u][j+k],dp[u][j]+dp[v][k]+w*k*(V-k)+w*(s[v]-k)*(n-(V-k)-s[v]));//状态转移
		s[u]+=s[v];//更新树大小
	}
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>V;
    for(int i=1,x,y,w;i<n;i++)cin>>x>>y>>w,ae(x,y,w),ae(y,x,w);
	dfs(1);
	cout<<dp[1][V];
    return 0;
}