[CSP-S2021-T3][题解] 回文

原题链接

Solution

在一个长度为 $2\times n$ 的序列 $a$ 中，可以拿出序列最左边，最右边的数。放到 $b$ 序列的末尾，使得 $b$ 序列回文。

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以下对先选左边的数进行讨论。先选右边的数同理。

若已选了一个数，因为要求回文，那么最后一个数也会被确定。假设最后一个数在序列 $a$ 的第 $K$ 个。

现在我们要选第二个数。有两种选择：最左边的，最右边的数，分别设为 $x,y$

设与它们相等的两个数是第 $p[x],p[y]$ 个数。以下对 $x,p[x]$ 进行讨论，$y,p[y]$ 同理。

• 当 $p[x] < k$ 时，仅当 $p[x]=k-1$ 时可以成立。因为 $p[x]$ 是倒数第二个要选的数，$K$ 是倒数第一个要选的数。如果 $p[x],x$ 之间有其他数，就要在他们之前选，只能从最左，最右边的数没法满足条件。所以必须要相邻，即 $p[x]=k-1$

• 当 $p[x]> k$ 时，同理可得，两数必须相邻。所以当 $p[x]=k+1$，可以成立。

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此时我们将问题一般化，由于倒数选取的数必须相邻，我们将倒数的记作 $x$。

$a_1\ \ a_2\ \ a_3\ \ ...\ \ a_i\ |\ x\ \ x\ \ ...\ \ x\ \ x\ |\ a_j\ \ a_{j+1}\ \ ...\ \ a_{2\times n-1}\ \ a_{2\times n}$

此时，当且仅当选取第 $w$ 个数满足 $w=j$ 或 $w=i$ 时，才满足条件。分别记录最左，最右边的 $x$，记作 $mi,ma$。$i\gets mi-1,j\gets ma+1$

如果选取的两端都满足，不必担心选择一边可以，另一边不行。只需要考虑字典序，即选左边的数就可以。

证明

$a_1\ \ a_2\ \ a_3\ \ ...\ \ a_i\ |\ x\ \ x\ \ ...\ \ x\ \ x\ |\ a_j\ \ a_{j+1}\ \ ...\ \ a_{2\times n-1}\ \ a_{2\times n}$

现在要选 $a_l,a_r$。有两种情况：

• $p[a_l]=a_i,p[a_r]=a_j$。如果选 $a_l$，$a_i\gets x$。此时仍类似于该序列的“三段式结构”。依旧这样判断，如果一直为这种条件，那么直接成立。如果不为，那么就会转化为一般情况。如果选 $a_r$，同样直接成立或为一般情况。对于一般情况，如果不能满足，就会在 $a_p,a_q$ 出现同时不满足。而这种情况是无论选哪边，最终都要达到的。所以只关心字典序即可。

• $p[a_l]=a_j,p[a_r]=a_i$。同理可得，只与字典序有关。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ck(x) (x==miv-1||x==mv+1)
const int N=1e6+10;
int T,a[N],n,p[N],v[N],mv,miv,t[N];
string ans1;
int go(int s,int l,int r) {
	memset(v,0,sizeof v);
	mv=miv=p[s];v[p[s]]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		int L=p[l],R=p[r];
		if(ck(L)&&v[l]==0&&v[L]==0) l++, ans1+="L", miv=min(miv,L), mv=max(mv,L), v[L]=i;
		else if(ck(R)&&v[r]==0&&v[R]==0) r--, ans1+='R', miv=min(miv,R), mv=max(mv,R), v[R]=i;
		else return 0;
	}
	return 1;
}
void print(int l,int r) {
	cout<<ans1;
	while(l<=r)
		if(v[l]>=v[r]) cout<<"L", l++;
		else cout<<"R", r--;
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>T;
	while(T--) {
		memset(t,0,sizeof t);
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=2*n;i++) {
			cin>>a[i];
			if(t[a[i]]==0) t[a[i]]=i;
			else p[i]=t[a[i]],p[t[a[i]]]=i; 
		}
		if(ans1="L",go(1,2,2*n)) print(miv,mv);
		else if(ans1="R",go(2*n,1,2*n-1)) print(miv,mv);
		else cout<<-1;
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}