莫队小记

莫队

考虑一个经典的问题。对一个数列进行 $m$ 次区间求和。暴力需要 $O(nm)$，但是莫队可以优化到 $O(n\sqrt{m})$。

思想具有启发式思维。假如我们知道 $[l,r]$ 的和为 $k$。在此基础上 $[l-1,r],[l,r+1]$ 都可以很快得到。莫队是对上一个问题解决这个问题。要给对问题的求解一个顺序，否则 $l,r$ 的移动在最坏情况都是 $n$。用分块的思想排序，设块长为 $len$。把 $l$ 的块编号按第一关键字，$r$ 为第二关键字排序。这样，$l$ 移动次数为 $len\times m$，$r$ 移动次数为 $\frac{n^2}{len}$。均值不等式求得 $len=\sqrt{\frac{n^2}{m}}$。 在莫队中，块长对于复杂度有决定性的作用。

总之记住一句话：莫队只是改变了询问的顺序，让暴力跑的更快。

小优化

1. 对于块编号 $id$，使用数组存储。
2. 对于奇数块，$r$ 升序；偶数块，$r$ 降序。

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回滚莫队

很多时候我们只方便在加（减）的时候统计答案。以下考虑只加不减。

回观普通莫队，对于每次询问。$l$ 都可能减。但是只要还在一个块。$r$ 只会增加。

我们需要在每次询问时，将 $l$ 只加不减。修改为当前块的右端点 $+1$。在当前块变化时，将 $r$ 修改为当前块的右端点。

然后按照普通莫队求解，但是这时候 $l$ 的操作是临时的，不要覆盖可以重复使用的区间答案。按照普通莫队的分析方法可证复杂度 $O(n\sqrt{m})$。

例题 JOISC 2014 Day1 历史研究.

树上莫队

一般都是将树的括号序跑下来。在这上面做莫队。例题：COT2 - Count on a tree II

带修莫队

其实就是增加了一维时间。

二次离线莫队