基本动态规划题集
观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。
在上面的样例中,从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。
【输入】
第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。
后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。
所有的被供应的整数是非负的且不大于100。
【输出】
单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。
【输入样例】
5 13 11 8 12 7 26 6 14 15 8 12 7 13 24 11
【输出样例】
86
dp：
从下往上找F[1][1]=min{F[2][1]+A[1][1],F[2][2]+A[1][1]}
从F[N-1][1]到F[n-1][n-1]
一行行找到F[1][1];
#include<iostream> using namespace std; int a[1003][1002]; int main(){ int n; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j]; } for(int i=n-1;i>=1;i--){ for(int j=1;j<=i;j++) a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]); } cout<<a[1][1]<<endl; return 0; }
1259：【例9.3】求最长不下降序列
时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB
提交数: 6847 通过数: 2146
【题目描述】
设有由n(1≤n≤200)n(1≤n≤200)个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)b(1)、b(2)、……、b(n)且b(i)≠b(j)(i≠j)b(i)≠b(j)(i≠j)，若存在i1<i2<i3<…<iei1<i2<i3<…<ie 且有b(i1)<b(i2)<…<b(ie)b(i1)<b(i2)<…<b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的不下降序列。
例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为7的不下降序列，同时也有7 ，9，16，18，19，21，22，63组成的长度为8的不下降序列。
【输入】
第一行为n,第二行为用空格隔开的n个整数。
【输出】
第一行为输出最大个数max(形式见样例)；
第二行为max个整数形成的不下降序列,答案可能不唯一，输出一种就可以了，本题进行特殊评测。
【输入样例】
14 13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15
【输出样例】
max=8 7 9 16 18 19 21 22 63
dp:
F[n]为以a[n]为结尾的最长递增序列长度
F[n]=max{F[i]+1&&a[i]<a[n]}
答案是F[i]的最大值（1<=i<=n)
#include<iostream> using namespace std; int a[205]; int F[205]; int main(){ int n,maxx,maxxx=0;; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; maxx=0; for(int j=1;j<i;j++){ if(a[j]<a[i]){ if(F[j]>maxx) maxx=F[j]; } } F[i]=maxx+1; if(F[i]>maxxx) maxxx=F[i]; } cout<<maxxx<<endl; return 0; }
但是题目要求输出序列，就要保存序列，就多开一维F，存以F[i]结尾的序列
#include<iostream> using namespace std; int a[205]; int F[205][205]; int main(){ int n,maxx,maxxx=0,maxn; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; maxx=0; for(int j=1;j<i;j++){ if(a[j]<=a[i]){ if(F[j][0]>maxx){ maxx=F[j][0]; for(int w=1;w<=F[j][0];w++) F[i][w]=F[j][w]; } } } F[i][0]=maxx+1; F[i][F[i][0]]=a[i]; if(F[i][0]>maxxx){ maxxx=F[i][0]; maxn=i; } } cout<<"max="<<maxxx<<endl; for(int i=1;i<=maxxx;i++){ if(i!=1) cout<<" "; cout<<F[maxn][i]; } cout<<endl; return 0; }
1261：【例9.5】城市交通路网
时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB
提交数: 1680 通过数: 1240
【题目描述】
下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A->E。试用动态规划的最优化原理求出A->E的最省费用。
如图：求v1到v10的最短路径长度及最短路径。
【输入】
第一行为城市的数量N;
后面是N*N的表示两个城市间费用组成的矩阵。
【输出】
A->E的最省费用。
【输入样例】
10 0 2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 14 0 0 0 0 0 0 0 0 6 10 4 0 0 0 0 0 0 0 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
【输出样例】
minlong=19 1 3 5 8 10
dp:F[i]代表从起点到i号的最短距离
从前向后推：F[n]=min{f[i]+a[i][n]&&a[i][n]!=0}
然后b[n][]记录到n的路径
#include<iostream> using namespace std; int n; int a[105][105]; int F[100]; int b[105][105]; int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) b[i][1]=1; int tn=1; for(int i=1;i<=n;i++){ F[i]=999999; for(int j=1;j<=n;j++){ cin>>a[i][j]; } } for(int i=1;i<=n;i++){ if(a[1][i]!=0){ F[i]=a[1][i]; b[i][2]=i; } } for(int i=2;i<n;i++){ for(int j=i+1;j<=n;j++){ if(a[i][j]!=0){ if(a[i][j]+F[i]<F[j]){ for(int x=1;x<=n;x++){ if(b[i][x]!=0) b[j][x]=b[i][x]; else { b[j][x]=j; break; } } F[j]=a[i][j]+F[i]; } } } } cout<<"minlong="<<F[n]<<endl; for(int i=1;i<=n;i++){ if(b[n][i]==0) break; if(i!=1) cout<<" "; cout<<b[n][i]; } cout<<endl; return 0; }
