一元二次不等式和一元三次不等式解法的思考
说起一元二次不等式的解法真的不记得了,只是大概记得和一元二次方程的两个根有关系。
(x+1)(x-3)<0
这个不等式的集解如果熟悉解法的同学可能一秒就知道答案了,-1<x<3
对于不熟悉解法的同学怎么办呢?我这里说下我的方法。
(x+1)(x-3) 这是什么? 我们把x+1看作一个数,x-3看作另外一个数,原不等式等价于两个数相乘的结果是小于0
所以有两种情况,第一种是前面一个数是正数且后一个数是负数。
x+1>0且x-3<0,得出解集是-1<x<3
第二种情况是,前面一个数是负数且后一个数是正数
x+1<0且x-3>0,得出解集是3<x<-1,你说有这样的数吗?同时满足大于3且小于-1,不存在的,所以这个是空集。
第一种情况和第二种情况取一个并集,结果就是-1<x<3。
麻烦但是好理解。
OK,现在求一个一元三次不等式的解集。
(x+1)(x-3)(x+5)>0
还是用上面的思路
把(x+1)(x-3)看作一个数,x+5看作另外一个数,原不等式就等价于两个数相乘结果是大于0的,那么就有两种情况
第一种情况是两个正数相乘结果是正数
(x+1)(x-3)>0且x+5>0得出的解集是(x>3或x<-1)且x>-5,即-5<x<-1或x>3
第二种情况是两个负数相乘结果是正数
(x+1)(x-3)<0且x+5<0得出解集是-1<x<3且x<-5,这个是一个空集,不存在这样的x
两种情况取一个并集
-5<x<-1或x>3
这个思路是一直可以延续下去的,比如一元五次不等式,能算出一元五次的解集估计也能总结出规律了。