博弈——翻硬币游戏
翻硬币游戏
一般的翻硬币游戏的规则是这种：
N 枚硬币排成一排。有的正面朝上。有的反面朝上。我们从左開始对硬币按1 到N 编号。
第一，游戏者依据某些约束翻硬币，但他所翻动的硬币中，最右边那个硬币的必须是从正面翻到反面。
比如，仅仅能翻3个硬币的情况。那么第三个硬币必须是从正面翻到反面。假设局面是正正反。那就不能翻硬币了，由于第三个是反的。
第二，谁不能翻谁输。
有这种结论：局面的SG 值为局面中每一个正面朝上的棋子单一存在时的SG 值的异或和。
即一个有k个硬币朝上，朝上硬币位置分布在的翻硬币游戏中，SG值是等于k个独立的開始时仅仅有一个硬币朝上的翻硬币游戏的SG值异或和。
比方THHTTH这个游戏中，2号、3号、6号位是朝上的，它等价于TH、TTH、TTTTTH三个游戏和，即sg[THHTTH]=sg[TH]^sg[TTH]^sg[TTTTTH].我们的重点就能够放在单个硬币朝上时的SG值的求法。
约束条件一：每次仅仅能翻一个硬币。
一般规则中。所翻硬币的最右边必须是从正面翻到反面，由于这题是仅仅能翻一个硬币。那么这个硬币就是最右边的硬币，所以，每次操作是挑选一个正面的硬币翻成背面。
对于随意一个正面的硬币，SG值为1。
有奇数个正面硬币。局面的SG值==1，先手必胜，有偶数个正面硬币，局面的SG值==0。先手必败。
约束条件二：每次能翻转一个或两个硬币。
(不用连续)
每一个硬币的SG值为它的编号。初始编号为0。与NIM游戏是一样的。
假设对于一个局面。把正面硬币的SG值异或起来不等于0，既a1^a2^a3^…^an==x,对于an来说一定有an'=an^x<an。
假设an'==0，意思就是说。把an这个值从式子中去掉就能够了。
相应游戏。就是把编号为an的正面硬币翻成背面就能够了。
由于an^x==0。而a1^a2^a3^…^an==x，即an^a1^a2^a3^…^an==0，即a1^a2^a3^…^an-1==0，仅仅要在原来的x里面去掉an就能够了。
假设an'!=0，意思就是说。把an这个值从式子中去掉后再在式子中加上an'，an'<an。相应游戏，去掉an就是把编号为an的正面硬币翻成背面。加上an'，假设编号为an'的硬币是正面，我们就把它翻成背面。是背面就翻成正面。总之，就是翻转编号为an'的硬币。
由于an^x!=0，所以an^a1^a2^a3^…^an!=0。即a1^a2^a3^…^an-1!=0，而这里的
an'=a1^a2^a3^…^an-1，所以在x中去掉an后，要对an'进行异或。也就是翻转，正转反，反转正。
约束条件三：每次必须连续翻转k个硬币。
我们以k==3为例。
我们计算的是个数为N的硬币中，当中最后一个硬币为正面朝上,的sg值。
当N==1时。硬币为：正，先手必输，所以sg[1]=0。
当N==2时，硬币为：反正。先手必输，所以sg[2]=0。
当N==3时，硬币为：反反正，先手必胜。所以sg[3]=1。
当N==4时，硬币为：反反反正。先手操作后为：反正正反，子状态局面的SG=0^1=1，那么sg[4]=0。
当N==5时，硬币为：反反反反正。先手操作后为：反反正正反。子状态局面的SG=1^0=1。那么sg[5]=0。
当N==6时，硬币为：反反反反反正。先手操作后为：反反反正正反。子状态局面的SG=0^0=0。那么sg[6]=1。
依据观察，能够知道。从编号为1開始，sg值为：001 001 001 001……
依据观察，能够知道，sg的形式为000…01 000…01，当中一小段0的个数为k-1。
约束条件4：每次翻动一个硬币后。必须翻动其左側近期三个硬币中的一个，即翻动第x个硬币后。必须选择x-1。x-2，x-3中的当中一个硬币进行翻动，除非x是小于等于3的。（Subtraction Games）
当N==1时，硬币为：正，先手必赢，所以sg[1]=1。
当N==2时。硬币为：反正，先手必赢，由于先手能够翻成反反或正反。可能性为2。所以sg[2]==2。
当N==3时，硬币为：反反正，先手操作后能够为：反正
位置x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]： 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
这个与每次最多仅仅能取3个石子的取石子游戏的SG分布一样，相同还有相似的这类游戏，约束条件5也是一样。
约束条件5：每次必须翻动两个硬币，并且这两个硬币的距离要在可行集S={1,2,3}中。硬币序号从0開始。(Twins游戏)
当N==1时，硬币为：正，先手必输，所以sg[0]=0。
当N==2时，硬币为：反正，先手必赢。所以sg[1]=1。
当N==3时。硬币为：反反正。先手必赢，所以sg[2]=2。
当N==4时，硬币为：反反反正，先手必赢，所以sg[3]=3。
当N==5时。硬币为：反反反反正，先手必输，所以sg[4]=0。
位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]： 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2…
约束条件6：每次能够翻动一个、二个或三个硬币。
（Mock Turtles游戏）
初始编号从0開始。
当N==1时。硬币为：正，先手必胜，所以sg[0]=1.
当N==2时，硬币为：反正，先手必赢，先手操作后可能为：反反或正反，方案数为2，所以sg[1]=2。
当N==3时，硬币为：反反正。先手必赢，先手操作后可能为：反反反、反正反、正反正、正正反。方案数为4。所以sg[2]=4。
位置x：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...
sg[x]： 1 2 4 7 8 11 13 14 16 19 21 22 25 26 28…
看上去sg值为2x或者2x+1。我们称一个非负整数为odious，当且仅当该数的二进制形式的1出现的次数是奇数，否则称作evil。所以1，2。4，7是odious由于它们的二进制形式是1,10,100,111.而0,3,5,6是evil，由于它们的二进制形式是0,11,101,110。
而上面那个表中。貌似sg值都是odious数。所以当2x为odious时，sg值是2x，当2x是evil时。sg值是2x+1.
这样怎么证明呢？我们会发现发现，
evil^evil=odious^odious=evil
evil^odious=odious^evil=odious
如果刚才的假说是成立的，我们想证明下一个sg值为下一个odious数。注意到我们总能够在第x位置翻转硬币到达sg为0的情况；通过翻转第x位置的硬币和两个其他硬币。我们能够移动到全部较小的evil数，由于每一个非零的evil数都能够由两个odious数异或得到。可是我们不能移动到下一个odious数，由于不论什么两个odious数的异或都是evil数。
假设在一个Mock Turtles游戏中的首正硬币位置x1,x2,…,xn是个P局面。即sg[x1]^…^sg[xn]=0.那么无可置疑的是n必然是偶数，由于奇数个odious数的异或是odious数，不可能等于0。而由上面可知sg[x]是2x或者2x+1，sg[x]又是偶数个，那么x1^x2^…^xn=0。相反。假设x1^x2^…^xn=0且n是偶数，那么sg[x1]^…^sg[xn]=0。这个假设不太理解的话，我们能够先这么看下。2x在二进制其中相当于把x所有左移一位，然后补零，比方说2的二进制是10。那么4的二进制就是100。而2x+1在二进制其中相当于把x所有左移一位，然后补1，比方说2的二进制是10，5的二进制是101。如今看下sg[x1]^…^sg[xn]=0，由于sg[x]是2x或者2x+1。所以式子中的2x+1必须是偶数个（由于2x的最后一位都是0,2x+1的最后一位都是1，要最后异或为0,2x+1必须出现偶数次）。实际上的情况可能是这种:
博弈-翻硬币游戏
MT游戏其中的P局面是拥有偶数堆石子的Nim游戏的P局面。
约束条件7：每次能够连续翻动随意个硬币，至少翻一个。
（Ruler游戏）
初始编号从1開始。
那么这个游戏的SG函数是g(n)=mex{0,g(n-1),g(n-1)^g(n-2),…,g(n-1)^…^g(1)}
依据SG函数能够得到SG值表例如以下。
位置x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16...
g(x): 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16…
所以sg值为x的因数其中2的能达到的最大次幂。比方14=2*7，最大1次幂。即2；16=2*2*2*2。最大4次幂，即16。
这个游戏成为尺子游戏是由于SG函数非常像尺子上的刻度。
约束条件8：每次必须翻转4个对称的硬币，最左与最右的硬币都必须是从正翻到反。（開始的时候两端都是正面）（Grunt游戏）
这是Grundy游戏的变种，初始编号从0開始。
当首正硬币位置为0,1,2时是terminal局面，即 终结局面，sg值都是0。当首正硬币位置n大于等于3的时候的局面能够通过翻0,x,n-x,n四个位置得到(当中x<n/2可保证胜利)。
这就像是把一堆石子分成两堆不同大小石子的游戏，也就是Grundy游戏。
附注：
參考资料http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100h3wl.html
部分内容还是《Game Theory》翻译过来的
