数据结构与算法系列----最小生成树（Prim算法&Kruskal算法）
一：Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法）。图论中的一种算法。可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中。不但包含了连通图里的全部顶点（英语：Vertex (graph theory)）。且其全部边的权值之和亦为最小。
该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现。并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。
因此，在某些场合。普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描写叙述
1).输入：一个加权连通图。当中顶点集合为V，边集合为E。
2).初始化：Vnew = {x}。当中x为集合V中的任一节点（起始点）。Enew = {},为空；
3).反复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，当中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，而且v∈V（假设存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边。则可随意选取当中之中的一个）；
b.将v增加集合Vnew中。将<u, v>边增加集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描写叙述所得到的最小生成树。
3.算法的图例描写叙述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
|
|
此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。 | - | - | - |
|
|
顶点D被随意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。 A是距离D近期的顶点， |
C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D或A近期的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此， F距D或A近期，因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。 |
C, G | B, E, F | A, D |
| 算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F | |
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在当前情况下，能够在C、E与G间进行选择。 C距B为8。E距B为7，G距F为11。 |
无 | C, E, G | A, D, F, B |
|
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这里。可供选择的顶点仅仅有C和G。 C距E为5，G距E为9。故选取C， |
无 | C, G | A, D, F, B, E |
|
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顶点G是唯一剩下的顶点。它距F为11。距E为9，E近期，故高亮表示G 及对应边EG。 |
无 | G | A, D, F, B, E, C |
|
|
如今，全部顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。 在此例中，最小生成树的权值之和为39。 |
无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
4.简单证明prim算法
反证法：如果prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).如果存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>增加G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是由于<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故如果不成立。命题得证.
完整代码例如以下：
用邻接矩阵存储图，设置两个数组lowCost和adjIndex，当中前者代表边的权值，后者代表相应lowCost该边的起点。
#include<iostream>
using namespace std;
int graph[20][20];//邻接矩阵
char * vertex;//保存顶点
int Prim(int&);
int main()
{
/*
6 10
A B C D E F
0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6
*/
//////1.输入图的顶点数和弧数
cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
int vexNum, arcNum;
cin >> vexNum >> arcNum;
//////2.初始化邻接矩阵
for (int i = 0; i < vexNum; i++)
for (int j = 0; j < vexNum; j++)
graph[i][j] = INT_MAX;//无限大
/////3.输入顶点
cout << "请输入" << vexNum << "个顶点信息: ";
vertex = new char[vexNum];
for (int i = 0; i < vexNum; i++)
cin >> vertex[i];
//////4.输入弧信息（边的方向和权值）
cout << "请输入" << arcNum << "个弧的信息: \n";
int a, b, c;
for (int i = 0; i < arcNum; i++)
{
cin >> a >> b >> c;
graph[a][b] = c;
graph[b][a] = c;
}
//////5.输出最小生成树
cout << "\n\n最小树为: \n";
int x = Prim(vexNum);
cout << "\n最小权和为" << x << endl<<endl;
return 0;
}
int Prim(int & _vexNum)//Prim最小生成树
{
int * lowCost = new int[_vexNum];//保存边上的权值
int * adjIndex = new int[_vexNum];//
for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
{
lowCost[i] = graph[0][i];
adjIndex[i] = 0;
}
lowCost[0] = 0;//z这里用了一个技巧，赋值为0表示该点已增加生成树，以后不做处理，相当于常常碰见的visited标记数组，当然你也能够赋值为-1
adjIndex[0] = 0;
int min, minIndex,sum=0;
for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
{
min = INT_MAX;
for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//找到权值最小
{
if (lowCost[j] < min && lowCost[j]!=0)
{
min = lowCost[j];
minIndex = j;
}
}
cout << vertex[adjIndex[minIndex]] << "------>" << vertex[minIndex] << endl;
sum += min;
lowCost[minIndex] = 0;
adjIndex[minIndex] = 0;
for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//更新lowCost和adjIndex数组
{
if (graph[minIndex][j] < lowCost[j])
{
lowCost[j] = graph[minIndex][j];
adjIndex[j] = minIndex;
}
}
}
delete []lowCost;
delete []adjIndex;
return sum;
}以上代码所构建的图为：
执行例如以下：
二：Kruskal算法
1.概览
Kruskal克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。
用来解决相同问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。
和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描写叙述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中同样的e个顶点。但没有边
3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边開始遍历每条边。直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中，if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中。加入这条边到图Graphnew中。
3.图例描写叙述
首先第一步。我们有一张图Graph。有若干点和边
将全部的边的长度排序。用排序的结果作为我们选择边的根据。
这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序。对局部最优的资源进行选择，排序完毕后。我们领先选择了边AD。
这样我们的图就变成了左图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。
这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF。AB，BE。
以下继续选择， BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了（对于BC能够通过CE,EB来连接，类似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不须要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
当然我们选择了EG。最后成功的图就是左图：
4.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对随意n阶图适用。
归纳基础：
n=1。显然可以找到最小生成树。
归纳过程：
如果Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中。我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就行得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)。G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法：
如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包括<u,v>。否则，能够用<u,v>增加到T中，形成一个环，删除环上原有的随意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}。是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是如果不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。由数学归纳法，Kruskal算法得证。
代码实现：
下面代码使用了并查集，关于并查集内容，请參考： http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/50769868
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct Edge//表示一条边
{
int u;//起始顶点
int v;//结尾顶点
int w;//该边的权值
};
bool cmp(Edge edge1, Edge edge2)
{
return (edge1.w < edge2.w);
}
Edge* edge;//存储边的数组
int* father;
int vexNum, arcNum;//顶点数。边数
int Kruskal();
int Find(int x);
void Join(int x, int y);
int main()
{
/*
6 10
0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6
*/
cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
cin >> vexNum >> arcNum;
father = new int[vexNum];
for (int i = 0; i < vexNum; i++)
father[i] = i;
cout << "请输入" << arcNum << "条边的信息:\n";
edge = new Edge[arcNum];
for (int i = 0; i < arcNum; i++)
cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;
cout << Kruskal() << endl;
delete[]edge;
delete[]father;
return 0;
}
int Find(int x)
{
return (x == father[x]) ? x : Find(father[x]);
}
void Join(int x, int y)
{
int root_x = Find(x);
int root_y = Find(y);
if (root_x != root_y)
father[root_x] = root_y;
}
int Kruskal()
{
int sum = 0;//最小路径权值和
int finished = 0;//最小生成树的边数应该是顶点数-1,在此设置变量标记是否完毕
sort(edge, edge + arcNum, cmp);
for (int i = 0; i < arcNum&&finished < vexNum - 1; i++)
{
int root_u = Find(edge[i].u);
int root_v = Find(edge[i].v);
if (root_u != root_v)
{
Join(edge[i].u, edge[i].v);
finished++;
cout << edge[i].u << "----->" << edge[i].v << endl;
sum += edge[i].w;
}
}
return sum;
}数据測试在代码里，方便读者測试程序的正确性。如有错误。请指出，感谢！
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參考链接和图片资源来自：
严蔚敏的数据结构。
http://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045。
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html。
