数据结构与算法系列----最小生成树(Prim算法&Kruskal算法)

 一:Prim算法      

1.概览
普里姆算法(Prim算法)。图论中的一种算法。可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中。不但包含了连通图里的全部顶点(英语:Vertex (graph theory))。且其全部边的权值之和亦为最小。

该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现。并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

因此,在某些场合。普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。


2.算法简单描写叙述
1).输入:一个加权连通图。当中顶点集合为V,边集合为E。
2).初始化:Vnew = {x}。当中x为集合V中的任一节点(起始点)。Enew = {},为空;
3).反复下列操作,直到Vnew = V:
     a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,当中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,而且v∈V(假设存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边。则可随意选取当中之中的一个);
     b.将v增加集合Vnew中。将<u, v>边增加集合Enew中;
4).输出:使用集合Vnew和Enew来描写叙述所得到的最小生成树。


3.算法的图例描写叙述

图例            说明 不可选 可选 已选(Vnew
 

                  

此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。

- - -

       

顶点D被随意选为起始点。顶点ABEF通过单条边与D相连。

A是距离D近期的顶点,
因此将A及相应边AD以高亮表示。

C, G A, B, E, F D
 

下一个顶点为距离DA近期的顶点。BD为9,距A为7,E为15,F为6。因此,
FDA近期,因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。
C, G B, E, F A, D
算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。

C B, E, G A, D, F
 

在当前情况下,能够在CEG间进行选择。

CB为8。EB为7,GF为11。
E近期,因此将顶点E与对应边BE高亮表示。

C, E, G A, D, F, B
 

这里。可供选择的顶点仅仅有CG

CE为5,GE为9。故选取C
并与边EC一同高亮表示。

C, G A, D, F, B, E

顶点G是唯一剩下的顶点。它距F为11。距E为9,E近期,故高亮表示G
及对应边EG

G A, D, F, B, E, C

如今,全部顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。
在此例中,最小生成树的权值之和为39。

A, D, F, B, E, C, G


4.简单证明prim算法
反证法:如果prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).如果存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>增加G0中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是由于<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故如果不成立。命题得证.


完整代码例如以下:

用邻接矩阵存储图,设置两个数组lowCost和adjIndex,当中前者代表边的权值,后者代表相应lowCost该边的起点。

#include<iostream>
using namespace std;

int graph[20][20];//邻接矩阵
char * vertex;//保存顶点

int Prim(int&);

int main()
{

/*

6 10

A B C D E F

0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6

*/

	//////1.输入图的顶点数和弧数
	cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
	int vexNum, arcNum;
	cin >> vexNum >> arcNum;

	//////2.初始化邻接矩阵
	for (int i = 0; i < vexNum; i++)
		for (int j = 0; j < vexNum; j++)
			graph[i][j] = INT_MAX;//无限大

	/////3.输入顶点
	cout << "请输入" << vexNum << "个顶点信息: ";
	vertex = new char[vexNum];
	for (int i = 0; i < vexNum; i++)
		cin >> vertex[i];

	//////4.输入弧信息(边的方向和权值)
	cout << "请输入" << arcNum << "个弧的信息: \n";
	int a, b, c;
	for (int i = 0; i < arcNum; i++)
	{
		cin >> a >> b >> c;
		graph[a][b] = c;
		graph[b][a] = c;
	}
	
	//////5.输出最小生成树
	cout << "\n\n最小树为: \n";
	int x = Prim(vexNum);
	cout << "\n最小权和为" << x << endl<<endl;

	return 0;
}

int Prim(int & _vexNum)//Prim最小生成树
{
	int * lowCost = new int[_vexNum];//保存边上的权值
	int * adjIndex = new int[_vexNum];//
	
	for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
	{
		lowCost[i] = graph[0][i];
		adjIndex[i] = 0;
	}
	lowCost[0] = 0;//z这里用了一个技巧,赋值为0表示该点已增加生成树,以后不做处理,相当于常常碰见的visited标记数组,当然你也能够赋值为-1
	adjIndex[0] = 0;

	int min, minIndex,sum=0;
	for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
	{
		min = INT_MAX;
		for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//找到权值最小
		{
			if (lowCost[j] < min && lowCost[j]!=0)
			{
				min = lowCost[j];
				minIndex = j;
			}
		}

		cout << vertex[adjIndex[minIndex]] << "------>" << vertex[minIndex] << endl;
		sum += min;
		lowCost[minIndex] = 0;
		adjIndex[minIndex] = 0;

		for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//更新lowCost和adjIndex数组
		{
			if (graph[minIndex][j] < lowCost[j])
			{
				lowCost[j] = graph[minIndex][j];
				adjIndex[j] = minIndex;
			}
		}
	}
	
	delete []lowCost;
	delete []adjIndex;

	return sum;
}

以上代码所构建的图为:



执行例如以下:



二:Kruskal算法

1.概览
Kruskal克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。

用来解决相同问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。

和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。


2.算法简单描写叙述
1).记Graph中有v个顶点,e个边
2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中同样的e个顶点。但没有边
3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序
4).循环:从权值最小的边開始遍历每条边。直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中,if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中。加入这条边到图Graphnew中。


3.图例描写叙述

首先第一步。我们有一张图Graph。有若干点和边 

 

将全部的边的长度排序。用排序的结果作为我们选择边的根据。

这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序。对局部最优的资源进行选择,排序完毕后。我们领先选择了边AD。

这样我们的图就变成了左图

 

 

 



在剩下的变中寻找。我们找到了CE。

这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7,即DF。AB,BE。

以下继续选择, BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了(对于BC能够通过CE,EB来连接,类似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不须要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。

最后就剩下EG和FG了。

当然我们选择了EG。最后成功的图就是左图:

 

 




4.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对随意n阶图适用。
归纳基础:
        n=1。显然可以找到最小生成树。
归纳过程:
        如果Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中。我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v',把原来接在u和v的边都接到v'上去,这样就行得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)。G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。


用反证法:

        如果T'+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包括<u,v>。否则,能够用<u,v>增加到T中,形成一个环,删除环上原有的随意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}。是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T'),也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>}),产生了矛盾。于是如果不成立,T'+{<u,v>}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。由数学归纳法,Kruskal算法得证。



代码实现:

下面代码使用了并查集,关于并查集内容,请參考: http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/50769868

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

struct Edge//表示一条边
{
	int u;//起始顶点
	int v;//结尾顶点
	int w;//该边的权值
};

bool cmp(Edge edge1, Edge edge2)
{
	return (edge1.w < edge2.w);
}

Edge* edge;//存储边的数组
int* father;
int vexNum, arcNum;//顶点数。边数

int Kruskal();
int Find(int x);
void Join(int x, int y);

int main()
{

/*

6 10

0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6

*/

	cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
	cin >> vexNum >> arcNum;

	father = new int[vexNum];
	for (int i = 0; i < vexNum; i++)
		father[i] = i;

	cout << "请输入" << arcNum << "条边的信息:\n";
	edge = new Edge[arcNum];
	for (int i = 0; i < arcNum; i++)
		cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;

	cout << Kruskal() << endl;


	delete[]edge;
	delete[]father;

	return 0;
}

int Find(int x)
{
	return (x == father[x]) ? x : Find(father[x]);
}

void Join(int x, int y)
{
	int root_x = Find(x);
	int root_y = Find(y);

	if (root_x != root_y)
		father[root_x] = root_y;
}

int Kruskal()
{
	int sum = 0;//最小路径权值和
	int finished = 0;//最小生成树的边数应该是顶点数-1,在此设置变量标记是否完毕

	sort(edge, edge + arcNum, cmp);

	for (int i = 0; i < arcNum&&finished < vexNum - 1; i++)
	{
		int root_u = Find(edge[i].u);
		int root_v = Find(edge[i].v);

		if (root_u != root_v)
		{
			Join(edge[i].u, edge[i].v);

			finished++;

			cout << edge[i].u << "----->" << edge[i].v << endl;

			sum += edge[i].w;
		}
	}

	return sum;
}

数据測试在代码里,方便读者測试程序的正确性。如有错误。请指出,感谢!



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參考链接和图片资源来自:

严蔚敏的数据结构。

 http://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

posted @ 2017-06-24 14:56  yfceshi  阅读(360)  评论(0编辑  收藏  举报