算法第三章上机实验报告

1 题目分析

1.1 问题描述

7-4 编辑距离问题 (25 分)

设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括 (1)删除一个字符； (2)插入一个字符； (3)将一个字符改为另一个字符。 将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到 B的编辑距离，记为d(A,B)。 对于给定的字符串A和字符串B，计算其编辑距离 d(A,B)。

输入格式:
第一行是字符串A，文件的第二行是字符串B。

提示：字符串长度不超过2000个字符。

输出格式:
输出编辑距离d(A,B)

输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
fxpimu xwrs
结尾无空行

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
5

1.2 算法描述

首先的想法是，从两个字符串的首位置开始比较。
（1）如果两个字符串的首位置字母相同，那么递归比较剩下的字符串
（2）如果两个字符串的首位置字母不相同，那么对首字母进行删除、插入、或者替换操作，再递归处理后面的部分。
这样的话会有大量重复计算，不如直接用动态规划，开一个新的数组记录子问题的最优解，一步步找到答案。

用op[2010][2010]来存储结果，op[i][j]表示a的子串(下标从0到i）转化为b的子串（下标从0到j）需要的操作次数，最后输出的答案就是op[lena][lenb]。

1.3 问题求解：

1.1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式

op[i][0]（i从0到lena）初始化为i，op[0][j]（j从0到lenb）初始化为j。（因为当i或j行为0时，要想将a子串转化为b子串，只能全部增加或者全部删除）

初始化完毕之后：
（1）如果两个字符串的首位置字母相同，op[i][j]=op[i-1][j-1]（不用进行额外操作，操作次数就是上一个子串的操作次数）
（2）如果两个字符串的首位置字母不相同：
删除：删除a子串的末尾，意味着op[i][j]=1+op[i-1][j]
插入：在a子串的末尾插入，意味着op[i][j]=1+op[i][j-1]
将一个字符改为另一个字符：意味着op[i][j]=1+op[i-1][j-1]
然后要找出这三种方案中的最小值，所以递归式如下：

1.1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序

标的维度：二维
填表范围：i从1到 lena（a字符串的长度），j从1到 lenb（b字符串的长度）
填表顺序：从左到右，从上到下填表。（因为填一个格子的时候要保证他的上面，左边，对角线的都填了）

1.1.3 分析该算法的时间和空间复杂度

时间复杂度：O（mn）（双重循环）
空间复杂度：O（mn）（额外开了个二维数组）

1.3 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

这道题一开始是不会的，想了很久都没想出来，后面上网看了别人解析。
我自己没想到的部分就是，当两个字母不等的时候，进行了三个操作之后可以先删除再+1，就是分为三种情况递归，然后选择操作数最小的那个。

2.你对动态规划算法的理解和体会

首先，动态规划应该依赖于两个最重要的性质：最优子结构和重叠子问题。

判断一道题是否能用动态规划，首先判断它是否有最优子结构，就是说，他最终的问题的答案，是不是由一个个小问题的最优解逐步构造出的。然后要看是不是由重叠的子问题，这时候就需要用到一个备忘录记录之前已经计算过的数据，避免重复计算，保证了每个子问题只解一次。

其次，通过这段时间对动态规划的学习，我明白了动态规划算法最重要的就是填表和写递归式。要明确填表用何种方式填，填这个空的时候我需要旁边哪几个空的答案。递归式则需要我们根据题目建立递归关系，有了递归关系就可以愉快地写代码了！