【题解】CF1990

合集 - CF 题解(13)

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收起

A

• 首先有一个显然的直觉：直接拿最大的，然后后手就拿不了了，赢！
• 然后发现一个显然的问题：最大的有很多个怎么办？
• 接着毕加思索这个问题：
  • 如果最大的数有奇数个，那两个人都只能依次取走，最后先手必胜
  • 如果最大的数有偶数个，那么同理，先手必输
• 所以有一个很显然的结论：如果最大的数的个数是偶数，我们绝对不能碰！
  否则，我们只需要取最大的数就能赢
• 现在我们讨论最大数的数量是偶数个的情况，有没有什么办法能让后手不得不去取走最大的数呢？
• 有！如果次大数是奇数个，那么同理，后手将不得不去取最大数，我们就可以赢
• 但是，次大数也是偶数怎么办？有没有什么办法能让后手不得不去取走次大的数呢？
• 有！如果次次大数是奇数个，那么同理，后手将不得不去取次大数，我们就可以赢
• 但是，次次大数又是偶数怎么办？......
• 所以，只要所有种类的数种有一个是奇数个，先手一定存在必胜策略，即取最大的奇数个的数，然后跟着后手取；否则，后手一定存在必胜策略，即跟着先手取

B

• 考虑构造（废话
• 如果要保证索引 $x$ 是最大前缀和，那么索引 $x+1$ 处必定为 $-1$，且 $x+1$ 处的后缀和必定小于等于 $0$
• 如果要保证索引 $y$ 是最大后缀和，那么索引 $y-1$ 处必定为 $-1$，且 $y-1$ 处的前缀和必定小于等于 0
• 注意到前两个条件对 $y-x$ 之间的位置没有约束，于是我们果断全都设为 $1$，因为这显然对于构造合法答案是不劣的
• 考虑极端数据：$x,y$ 贴到一起了，即序列中间的这部分一定可以提供的正数值在最少情况下只有 $2$
• 如果要保证 $x$ 索引是最大前缀和，则需要保证 $y$ 之前的位置的前缀和最小为 $-1$（否则就没法保证 $x$ 这个位置是最大前缀和了）
• $y$ 与之对称，反之同理
• 综合以上，我们有构造方案：
  • $x-y$ 之间都设 $1$
  • $y-1$ 设 $-1$，再往前是 $1,-1$ 交替
  • $x+1$ 设 $-1$，再往前是$1,-1$ 交替

C

• 首先注意到一次操作后，序列会永远单调不减，这是个很好的性质
• 有一个很 naive 的想法是，我们尝试刻画一下一次操作之后的序列，大概长这样：a...ab...bc...cd...d
• 没什么思路，于是继续手模一下，发现一次操作后，序列整体右移一位，高位补 0
• 于是我们直接写 $ans=a_i\times (n-i+1)(a_i\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{后}\mathrm{的}\mathrm{序}\mathrm{列})$ 然后非常快速地 WA 掉了样例
• 观察样例发现了一个问题：如果一次操作后的序列里有单一的数，那这个数再经过一次操作就无了，但是只要出现过两次，就会一直右移直到序列全 0
• 所以我们只需稍加改进：先暴力模拟两次操作，然后令 $ans+=a_i\times (n-i+1)(a_i\mathrm{是}\mathrm{操}\mathrm{作}\mathrm{两}\mathrm{次}\mathrm{后}\mathrm{的}\mathrm{序}\mathrm{列})$ 即可

D

• 很好的考察思维严密性的题
• 这种题一开始没什么思路，我们可以通过样例，手模和脑渲得出一些很 naive 的结论，然后尝试用这些结论拼凑出一些不 naive 的东西来
• 注意到：方形最多只能贡献两行，所以如果当前行要染白至少需要两个方形的话，则直接放弃方形
• 注意到：染方形的位置只有两种：第一个格子和第三个格子。为什么？如果染了第二个格子，则第一个格子还至少需要染一次，虽然可能可以继续向下一行贡献，但这样的贡献相当于继续重复这一递归过程，且一定存在重复染色，显然不优于染第一个格子；如果染了第四个格子，则前三个格子至少还需要染两个格子，显然更劣于染第三个格子；再继续往后，显然劣完了
• 所以使用方形的情况其实只有两种：
  • $a_i\le 2$ 直接方形，向下贡献
  • $a_i\le 4$ 并且被上一行贡献过，则把黑的地方用方形补完，向下贡献
• 手动模拟一下并统计答案即可

E

• 提供两种做法：随机化乱搞+正解
• 解决三个版本的问题：ez_version(E1) hard_version(E2) bonus_version(加强版)

随机化

• 注意到：如果一次询问的结果为 $0$，你可以删除这棵子树。
• 考虑随机化，设当前可行的点集为 $S$，每次询问从 $S$ 中随机选取一个点，按照题意模拟，直至剩下 $1$ 个点。
• 可以证明根据数学直觉，这样做的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的，由于这道题的交互库并不 adptive，所以可以随便过掉所有版本的问题

正解

HARD_VER

• 注意到：如果我们已经确定了鼹鼠一定在从根节点开始的一条链上，那么二分最多 $13$ 次询问就可以找到鼹鼠
• 于是，问题变为用 $147$ 次询问如何将其确定在这样一条链上。
• 注意到：如果一棵子树的返回为 1，那么一直访问这个子树的叶子来把鼹鼠赶出这个子树
• 定义节点 $x$ 到根的距离为 $de{p}_x$，到子树 $x$ 内最深的节点的距离为 $pe{d}_x$。
• 注意到，如果已经确定了鼹鼠在子树 $x$ 里，那么我们可以通过 $pe{d}_x$ 次操作将其赶出这棵子树，使其在一条满足要求的链上。
• 考虑每次查询一个 $x$ 使得 $pe{d}_x=\sqrt{n}$，如果返回 $0$ 就删除子树 $x$，否则用 $\sqrt{n}$ 次将鼹鼠赶到一条满足要求的链上，如果没有这样的子树，即所有 $pe{d}_x$ 都小于 $\sqrt{n}$，那么直接用 $\sqrt{n}$ 次使其到达根节点。
• 不难发现如果删除的话，每次会删除至少 $\sqrt{n}$ 个节点，所以最多只能删 $\sqrt{n}$ 次，所以询问次数最多为 $2\sqrt{n}$，不超过 $141$

VERY_HARD_VER

• 我们需要通过不超过 $87$ 次操作将鼹鼠赶到一条满足要求的链上。
• 每次，我们找一个点 $x$，使得以 $x$ 为根的子树为一条链，而且以 $x$ 的父亲为根的子树不为一条链。
  这样的好处在于，如果我们确定鼹鼠在子树 $x$ 里，我们无需将其赶出这棵子树，可以直接二分。
• 不过，这种做法下，我们的时间复杂度为 $O(n^2)$，能过，但没啥用