【题解】CF1997

合集 - CF 题解(13)

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收起

A

• 首先，插入的字符必须和左右两边的字符都不一样
• 其次，对于插入位置的选择，显然最好插在两个一样的字符中间，如果没有一样的字符，插在最前面即可

B

• 观察样例发现题目中要求的位置就在样例中
• 手玩一下，尝试改变样例里那个形状，发现改变任何一个格子都不满足题意，所以得出结论：题目要求的位置当且仅当六个格子形如

...
*.*

• 直接枚举每个位置即可

C

• 首先，左括号为1，右括号为 -1，合法括号串显然满足前缀和非负
• 在奇数位置上，前缀和总是二的倍数
• 如果要尽量缩小匹配括号之间的距离，显然能早放右括号就早放右括号
• 如果某个奇数位置的前缀和是 0，显然只能放左括号
• 否则，一定会放右括号，这样做一定没有后效性：因为如果放的话，前缀和最少是 2，一定可以支持连续放两个右括号，然后就到下一个奇数位置了

D

• 注意到 $u$ 可以取到的最大值与子树内的最小值有关，考虑树形 DP
• 设 $f_u$ 表示 以 $u$ 为根的子树内最小值的最大值
• 容易列出转移：$f_u=min(mi{n}_{v\in u}(f_v),\frac{mi{n}_{v\in u}(f_v)-a[u]}{2}+a[u])$
• 对于叶子：$f_u=a_u$
• 对于根：$f_u=a_u+mi{n}_{v\in u}(f_v)$

E

• 容易发现：对于一个怪物，k 越大，越容易蘸豆，k 越小，越不容易蘸豆
• 观察询问的形式，大胆猜想回复询问是 $O(1)$ 的；而我们对于每个怪物 $i$，要计算出：k 至少为多少才能与这个怪物蘸豆
• 考虑二分：设当前二分的值为 $k$，则不与当前怪物蘸豆的充要条件是：$k\times a_i<=\mathrm{在}\mathrm{第}i\mathrm{个}\mathrm{怪}\mathrm{物}\mathrm{之}\mathrm{前}\mathrm{蘸}\mathrm{豆}\mathrm{的}\mathrm{总}\mathrm{次}\mathrm{数}$
• 注意到 $\mathrm{在}\mathrm{第}i\mathrm{个}\mathrm{怪}\mathrm{物}\mathrm{之}\mathrm{前}\mathrm{的}\mathrm{蘸}\mathrm{豆}\mathrm{总}\mathrm{次}\mathrm{数}$ 难以快速求出，但注意到，我们在计算到 $i$ 时，已经算出了与前 $i-1$ 个怪蘸豆所需的最小 $k$，于是我们可以使用树状数组快速求出 $\mathrm{在}\mathrm{第}i\mathrm{个}\mathrm{怪}\mathrm{物}\mathrm{之}\mathrm{前}\mathrm{的}\mathrm{蘸}\mathrm{豆}\mathrm{总}\mathrm{次}\mathrm{数}$
• 时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$

F

• 首先，你需要一点注意力，注意到：
  1. 所有操作可逆
  2. 所有筹码最后都可以变到第一个位置
  3. 设 $v_i$ 表示第 $i$ 个位置的一个筹码的价值，则 $v_i$ 是斐波那契数列
• 显然对于一种若干筹码的放置方式，有且一种总价值和与之对应，即有且仅有一种 $m$ 的值与其对应
• 注意到 $x$ 很小，考虑极端情况，在 $x=10$ 的地方放了 1000 个筹码，这时取到最大理论价值：$v_{10}\times 1000\le v_{25}$
  也就是说，我们最多用到 $x=25$ 这个位置
• 注意到最大理论价值最多只有 55000 量级，我们考虑统计答案的方式：枚举每一个价值和 $V$，如果这个价值对应的最少筹码表示就是 $m$，则累加“用 $n$ 个筹码摆出 $V$ 的价值的方案数”
• 现在的问题是，如何求 $\mathrm{用}n\mathrm{个}\mathrm{筹}\mathrm{码}\mathrm{摆}\mathrm{出}V\mathrm{的}\mathrm{价}\mathrm{值}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{数}$：显然考虑 DP
• 设 $f_{x,i,j}$ 表示用前 $x$ 个位置，摆了 $i$ 个筹码，摆出 $j$ 的价值的方案数
• 初状：$f_{i,0,0}=1$
• 转移：$f_{x,i,j}=f_{x-1,i,j}+f_{x,i-1,j-v_x}$
• 优化：显然可以滚掉第一维